高三数学高考第一轮复习——圆锥曲线的定义，基本性质（理）人教实验A版【本讲教育信息】一.教学内容：圆锥曲线的定义，基本性质二.重点、难点：1.第一定义椭圆：双曲线：2.第二定义（1）为椭圆（2）为抛物线（3）为双曲线【典型例题】[例1]求过且与椭圆共焦点的（1）椭圆方程（2）双曲线方程。解：（1）设∴∴（2）设∴∴另解：∴∴∴=6时，双曲线时，椭圆用心爱心专心[例2]（1）P为椭圆上一点，P不在x轴上，为焦点，，求；（2）P为双曲线上一点，P不在x轴上，为焦点，，求。解：（1）∴∴∴（2）∴∴=[例3]（1）已知椭圆，P为M上一点，，，求离心率；（2）已知双曲线，P为M上一点，，，求离心率。解：（1）用心爱心专心∴∴（2）∴[例4]（1）椭圆，A（4，0），B（2，2），P在M上，求的最值；（2）抛物线，A（2，1），为准线，P在M上，求的最值。解：（1）A为右焦点，设左焦点为F∴∴最大值为，最小为（2）设焦点F∴∴最大值为，最小值为[例5]（1）双曲线，A（3，2），B（2，0），P为双曲线上一点，求：的最小值；（2）椭圆，，F为左焦点，P为M上一点，求的最小值。（3）抛物线，A（2，1），F为焦点，P为M上一点，求的最小值。用心爱心专心解：（1）∴∴∴（2），∴（3）[例6]已知椭圆C：（）的两个焦点分别为F1，F2，斜率为k的直线过右焦点F2且与椭圆交于A，B两点，与y轴交于M点，且点B分所成的比为2。（1）若，求离心率的取值范围；（2）若，并且弦AB的中点到右准线的距离为，求椭圆的方程。解析：（1）设直线的方程为，则点M（0，） 点B分的比∴∴∴∴ ∴∴∴（2） ∴由（1）知，∴∴椭圆方程为将直线代入椭圆方程得由韦达定理得，又右准线为∴弦AB中点到右准线距离为故，解得，从而用心爱心专心∴椭圆方程为[例7]如图，椭圆与过点A（2，0），B（0，1）的直线有且只有一个公共点T，且椭圆的离心率。（1）求椭圆方程；（2）设F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，M为线段AF2的中点，求证：∠ATM=∠AF1T。解析：（1）过点A，B的直线方程为由题意得有唯一解，即有唯一解∴，故又 ，即∴从而得故所求的椭圆方程为（2）证明：由（1）得，故，从而M（）由解得 T（1，）∴用心爱心专心又，得因此[例8]已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线右支上，且。（1）求离心率的最大值，并写出此时双曲线的渐近线方程；（2）当点P的坐标为时，，求双曲线方程。解析：（1） ，又∴，设F1（－），F2（c，0），P（）由，得∴P在双曲线右支上∴即∴的最大值为2，此时∴，此时渐近线方程为（2）， ∴即当时∴∴，解得即双曲线方程为[例9]已知双曲线C的两个焦点为F1，F2，实半轴长与虚半轴长的乘积为。直线过F2点，用心爱心专心且与线段F1F2的夹角为，且，与线段F1F2垂直平分线的交点为P，线段与双曲线的交点为Q，且，求双曲线方程。解：取所在直线为轴，的中垂线为y轴建立直角坐标系如下图所示。设双曲线方程为，用待定系数法求之值。又设从题设知直线的方程为，即，在方程中令得点P坐标，因，由定比分点坐标公式可得点Q坐标 点Q在双曲线上∴①又②从题设有③从式①②消去，化简整理得解此方程得，或（舍去）∴（ ）④又从式③④解得故所求双曲线方程为，从对称性知，双曲线也适合∴双曲线方程为或[例10]设A（），B（）两点在抛物线上，是AB的垂直平分线。（1）当且仅当取何值时，直线经过抛物线的焦点F？证明你的结论；（2）当直线的斜率为2时，求在y轴上截距的取值范围。解析：（1）两点到抛物线的准线的距离相等。用心爱心专心 抛物线的准线是x轴的平行线，，依题意不同时为0∴上述条件等价于 ∴上述条件等价于即当且仅当时，经过抛物线的焦点F（2）设在y轴上的截距为，依题意得的方程为；过点A，B的直线方程可写为，所以满足方程，得A，B为抛物线上不同的两点等价于上述方程的判别式，即设AB的中点N的坐标为（），则，由，得，于是即得在y轴上截距的取值范围为[例11]给定抛物线C：，F是C的焦点，过点F的直线与C相交于A，B两点。（1）设的斜率为1，求与夹角的大小；（2）设，若，求在y轴上截距的变化范围。分析：（1）由公式求解。（2）运用方程的思想建立起与截距的关系式，再...
