集合中的数学思想数学思想是数学的灵魂，是沟通数学知识与数学能力的桥梁．复习集合时，应注意体会数学思想的应用，下面举例说明．一、转化与化归思想例1．已知集合，，若，求实数的取值范围．分析：，所以是方程①的实数解组成的非空集合，并且方程①的根有三种情况：（1）两负根；（2）一负根和一零根；（3）一负根和一正根．分别求解比较麻烦，我们可以从问题的反面考虑，采取“正难则反”的解题策略，即先由，求出全集，然后求①的两根均为非负时的取值范围，最后利用“补集思想”求解．解：设全集，即．若方程的两根，均为非负，则，使的实数的取值范围为．点评：本题所采取的“正难则反”的解题策略，实际上运用了“补集思想”，体现了等价转化思想的灵活运用．二、分类讨论思想例2．设集合，，若，求实数的值．分析：可分，，三种情况，所以此题需分类并结合一元二次方程根的情况加以研究．解：，，于是可分为以下几种情况．（1）当时，，由根与系数的关系，得解得．用心爱心专心（2）当时，又可分为两种情况．①当时，即或，当时，有；当时，有或．又由，解得，此时满足条件；②当时，，解得．综合（1），（2）知，所求实数的取值为，或．三、数形结合思想例3．已知，，且，求的取值范围．解：是以为圆心，为半径的圆面（包括圆周）；是以为圆心，为半径的圆面（不包括圆周）且位于的内部．据题意，由图可知：，即，则．用心爱心专心
