高三数学解题方法谈：关注命题创新题VIP免费

关注命题创新题新课标提倡学生自主学习、主动探究，因此，我们要时刻关注一些命题创新的试题．下面以高考函数试题中创新力度较大的两道题为例谈一下命题的创新．例1对定义域分别是fgDD，的函数()()yfxygx，，规定：函数()()()()().fgfgfgfxgxxDxDhxfxxDxDgxxDxD，当且，，当且，，当且（1）若21()()()1fxgxxxxR，，求()hx的解析式；（2）若()()gxfx，其中是常数，且[0]，，请设计一个定义域为R的函数()yfx，及一个的值，使得()cos4hxx，并予以证明．解析：（1）由1()1fxx的定义域为{1}xx，即{1}fDxx；2()gxx的定义域为R，即gDR．于是有fxD，且gxD，即{1}fxxxxD；且gxD，即fxxD；且gxD，即1x；于是2(1)()11(1)xxhxxx，；（2）由()fx的定义域为R，得()gx的定义域也为R，于是fxD且gxD，及fxD且gxD都有x，此时()hx的解析式仅为()()()hxfxgx．于是，设计()sin2cos2fxxx，，则()()sin2cos2gxfxxxcos2sin2xx，那么()()()(sin2cos2)(cos2sin2)cos4hxfxgxxxxxx．评注：本题的创新之处有两点，①分段函数定义域的设计；②结论是开放性的，答案不惟一．这两点是该题的难点，也是突破该题的重点．例2设()fx是定义在[01]，上的函数，若存在(01)x，，使得()fx在[0]x，上单调递增，在[1]x，上单调递减，则称()fx为[01]，上的单峰函数，x为峰点，包含峰点的区间为含峰区间．对任意的[01]，上的单峰函数()fx，下面研究缩短其含峰区间长度的方法．（Ⅰ）证明：对任意的1212(01)xxxx，，，，若12()()fxfx≥，则2(0)x，为含峰区间；若用心爱心专心12()()fxfx≤，则1(1)x，为含峰区间；（Ⅱ）对给定的(00.5)rr，证明：存在12(01)xx，，，满足212xxr≥，使得由（Ⅰ）所确定的含峰区间的长度不大于0.5r；（Ⅲ）选取1212(01)xxxx，，，，由（Ⅰ）可确定含峰区间为2(0)x，或1(1)x，，在所得的含峰区间内选取3x，由3x与1x或3x与2x类似地可确定一个新的含峰区间．在第一次确定的含峰区间为2(0)x，的情况下，试确定123xxx，，的值，满足两两之间的绝对值不小于0.02，且使得新的含峰区间的长度缩短到0.34（区间长度等于区间的右端点与左端点之间）．解析：（Ⅰ）设x是()fx的峰点．当12()()fxfx≥时，假设2(0)xx，，则12xxx≤，由题意21()()()fxfxfx≥，这与12()()fxfx≥矛盾，所以2(0)xx，，即2(0)x，是含峰区间．同理可证：当12()()fxfx≤时，1(1)x，是含峰区间．（Ⅱ）当12()()fxfx≥时，含峰区间的长度为12lx；当12()()fxfx≤时，含峰区间的长度为211lx；由题意得210.510.5xrxr，，≤≤于是21112xxr≤，即212xxr≤．又212xxr≥，所以212xxr，那么120.50.5xrxr，．显然，存在12xx，使得所确定的含峰区间的长度不大于0.5r．（Ⅲ）对先选择的1212xxxx，，，由（Ⅱ）可知121xx．在第一次确定的含峰区间为2(0)x，的情况下，3x的取值应满足312xxx，即2131112xxxx，，当13xx时，含峰区间的长度为1x；由条件130.02xx≥，得11(12)xx0.02≥，从而10.34x≥．因此，为了将含峰区间的长度缩短到0.34，只要取1230.340.660.32xxx，，．评注：本题是一个新定义问题，题面中含有多个新概念；如“单峰”、“峰点”、“含峰区间”得．在本题中提供了一个探究问题的方法，并要求利用这种方式，来处理具体问题；显然，这是一个全新的命题方式．它不仅仅是解一个数学题，而是用数学知识，结合提供的方法来探究一个问题，这正是新课标教材中极力提倡的一种数学学习方法．因此，此题的导向功能是不言而喻的．用心爱心专心