简析三角函数问题的几类常见错误三角函数是中学数学的重要内容之一，在解题时稍有不慎就会进入误区且不易觉察，本文分类简析如下，供参考。一、忽视定义域致误：例1、求函数4sincos1sincosxxyxx的值域。误解：令sincos2sin()4xxxt，则[2,2]t，有2sinxcosx=t2-1于是22(1)2(1)1tytt∴[222,222]y简析：忽视定义域sinx+cosx≠-1，即t≠-1，因此[2,1)(1,2]t，可求得[222,4)(4,222]y例2、求函数()sin(1g)2xfxxtxtg的最小正周期。误解：sinsincos22()sin(1)sincoscoscoscos22xxxfxxxtgxxxxx∴f(x)的最小正周期为π。简析：忽视定义域须满足2()22xkkZxk而()22xkkZxk，由y=tgx的图象可知f(x)的最小正周期不是π，而是用心爱心专心2π。注：判断函数的周期性或奇偶性必须先考虑函数的定义域。二、忽视复合函数的性质致误：例3、求函数2sin(2)4yx的递增区间。误解：令24ux，则y=sinμ在[2,2]()22kkkZ上是增函数即222242kxk，解得3,()88kxkkZ于是函数2sin(2)4yxx在区间3[,]()88kkkZ上是增函数。简析：忽视复合函数的单调性，由24ux是减函数。而y=sinμ在[2,2]()22kkkZ上是增函数于是2sin(2)4yx在区间3[,]()88kkkZ上是减函数应为32222kuk，即3222242kxk∴3788kxk∴函数2sin(2)4yx的单调递增区间是37[,]()88kkkZ三、忽视题目隐含条件致误：例4、已知1sincos5，其中θ∈（0，π），则tgθ的值是。误解：由1sincos5得112sincos25，即24sin225用心爱心专心∴7sincos5∴43sin,cos55或34sin,cos55∴4tan3或34简析：忽视条件θ∈（0，π），当[0,]2时1sincos2所以(,)2，从而7sincos5，求得43sin,cos55故4tan3例5、已知3sin2α+2sin2β=2sinα，求cos2α+cos2β的最值。误解：由已知得221sin(2sin3sin)2于是22221coscoscos1(2sin3sin)2=22113sinsin2(sin1)222又1sin1，故当sinα=1时，cos2α+cos2β有最小值32当sinα=-1时，cos2α+cos2β有最大值72简析：忽视条件sin2β=12(2sinα-3sin2α)≥0，即20sin3故当sinα=0时，cos2α+cos2β有最大值且为2，当2sin3时，cos2α+cos2β有最小值且为149例6、设方程23340xx的两根为x1,x2，记x1=tanα，x2=tanβ，0||2，0||2，求α+β。用心爱心专心误解：由已知可得1233xx，x1x2=4，又x1=tanα，x2=tanβ故1212tantantan()31tantan1xxxx∴3简析：忽视韦达定理隐含条件，由x1+x2<0及x1x2>0知x1<0，x2<0故,(,0)2，从而有(,0)，故23用心爱心专心
