例1已知，求证证明： ，，，三式相加，得，即说明：这是一个重要的不等式，要熟练掌握．例2已知是互不相等的正数，求证：证明： ，∴同理可得：．三个同向不等式相加，得①说明：此题中互不相等，故应用基本不等式时，等号不成立．特别地，，时，所得不等式①仍不取等号．例3求证．分析：此问题的关键是“灵活运用重要基本不等式，并能由这一特征，思索如何将进行变形，进行创造”．证明： ，两边同加得．即．∴．同理可得：，．三式相加即得．例4若正数、满足，则的取值范围是．解： ，∴，令，得，∴，或（舍去）．∴，∴的取值范围是说明：本题的常见错误有二．一是没有舍去；二是忘了还原，得出．前者和后者的问题根源都是对的理解，前者忽视了后者错误地将视为．因此，解题过程中若用换元法，一定要对所设“元”的取值范围有所了解，并注意还原之．例5（1）求的最大值．（2）求函数的最小值，并求出取得最小值时的值．（3）若，且，求的最小值．解：（1）即的最大值为当且仅当时，即时，取得此最大值．（2）∴的最小值为3，当且仅当，即，，时取得此最小值．（3）∴∴即 ∴即的最小值为2．当且仅当时取得此最小值．用心爱心专心115号编辑说明：解这类最值，要选好常用不等式，特别注意等号成立的条件．例6求函数的最值．分析：本例的各小题都可用最值定理求函数的最值，但是应注意满足相应条件．如：，应分别对两种情况讨论，如果忽视的条件，就会发生如下错误： ，解：当时，，又，当且仅当，即时，函数有最小值∴当时，，又，当且仅当，即时，函数最小值∴例7求函数的最值．分析：．但等号成立时，这是矛盾的
于是我们运用函数在时单调递增这一性质，求函数的最值．解：设，∴．当时，函数递增．故原函数的最小值为，无最大值．例8求函数的最小值．分析：用换元法，设，原函数变形为，再利用函数的单调性可得结果．或用函数方程思想求解．解：解法一：设，故．由，得：，故：．∴函数为
