高三数学理导数的综合应用;极限;复数人教版【本讲教育信息】一.教学内容:导数的综合应用;极限;复数二.本周教学重难点:1.理解可能函数的单调性与其导数关系,会求函数的极值,最值2.掌握数列,函数极限的运算法则,会求数列函数极限,了解连续的意义3.了解复数的有关概念,能进行加、减、乘、除运算【典型例题】[例1]已知a为实数))(4()(2axxxf,若)(xf在]2,(和),2[上都递增,求a的取值范围。解:423)(2axxxf令0)(xf,即04232axx∴axx2432①]2,(xxxa2432设xxxxt2232432∴222)2(23t∴2a当2a时,443)(2xxxf)2)(23(xx当]2,(x时,0)(xf∴2a②),2[xxxa2432设xxt223∴2t∴2a当2a时,443)(2xxxf)2)(23(xx当),2[x时,0)(xf∴2a由①②知:22a[例2])2ln()(axaxf(0a且1a)在]1,0[Def上是减函数,求a的取值范围。解:axaayax21ln)2ln(令0y,020lnaxa或020lnaxa 10x∴21220210lnaaaxaxaa∴21a 1a∴21a用心爱心专心[例3]已知0a,函数xeaxxxf)2()(2(1)当x为何值时,)(xf取得最小值?证明你的结论。(2)设)(xf在]1,1[上是单调函数,求a的取值范围。解析:(1)对函数)(xf求导数,得xxeaxeaxxxf)22()2()(2xeaxax]2)1(2[2令0)(xf,得0]2)1(2[2xeaxax从而02)1(22axax解得2111aax,2211aax,其中21xx当x变化时,)(xf、)(xf的变化如下表:x),(1x1x),(21xx2x),(2x)(xf+0-0+)(xf↗极大值↘极小值↗当)(xf在1xx处取到极大值,在2xx处取到极小值。当0a时,11x,02x,)(xf在),(21xx上为减函数,在),(2x上为增函数。而当0x时,0)2()(xeaxxxf;当0x时,0)(xf,所以当211aax时,)(xf取得最小值。(2)当0a时,)(xf在]1,1[上为单调函数的充要条件是12x,即1112aa,解得43a综上,)(xf在]1,1[上为单调函数的充分必要条件为43a,即a的取值范围是),43[。[例4]已知xxfln)(,)0(21)(2abxaxxg,若2b,且)()()(xgxfxh存在单调递减区间,求a的范围。解:2b时,xaxxxh221ln)(221)(axxxh令0)(xh,即021axx有解即可∴21xax 0x∴xxa212(*)设xm1,xxt212∴1)1(222mmmt 0m∴1t (*)有解即可∴1a用心爱心专心当1a时,21)(xxxhxxxxx22)1(12 0x∴)(xh不可能小于0∴1a又 0a∴1a且0a[例5]把边长为60cm的正方形铁皮的四角切成边长为xcm的相等的正方形,然后折成一个高度为xcm的无盖的长方体的盒子,要求长方体的高度与底面边长的比值不超过常数k)0(k,问x取何值时,盒子的容积最大,最大容积是多少?解:设长方体高为xcm,则底面边长为cmx)260()300(x长方体容积)(3cm22)30(4)260()(xxxxxvv kxx260∴12600kkx,即函数定义域为]1260,,0(kk)30(8)30(4)(2xxxxv)303)(30(4xx)10)(30(12xx令0)(xv,解得10x,30x(不合题意舍去),于是x(0,10)10(10,30))(xv+0-)(xv↗↘①当126010kk即41k时,在10x时,v取得最大值为1600020402maxv②当101260k即410k时,在1260kkx时,v取得最大值3max)12(216000kkv[例6]已知nxmxxx22lim22,求nm,。解: nxmxxx22lim22∴2x为方程022mxx的根,3m又1)1(lim223lim222xxxxxx∴1n∴3m,1n[例7]是否存在常数cba,,使等式)()2(2)1(1222222nnnnncbnan24对一切正整数n成立?证明你的结论。解:分别将3,2,1n代入1898134160cbacbacba用心爱心专心∴04141cba下面用数学归纳法证明(1...