高三数学数列、函数的极限及函数的连续性【本讲主要内容】数列、函数的极限及函数的连续性数列与函数的极限定义、极限的四则运算、函数的连续性【知识掌握】【知识点精析】（一）数列极限1.概念考察以下三个数列当n无限增大时，项a的变化趋势：①②③（1）随着n的增大，从数值变化趋势上看，a有三种变化方式：数列①是递减的,②是递增的，③是正负交替地无限趋近于a.（2）随着n的增大，从数轴上观察项a表示的点的变化趋势，也有三种变化方式:①是从点a右侧，②是从点a左侧，③是从点a两侧交替地无限趋近于a．（3）随着n的增大，从差式∣a－a∣的变化趋势上看，它们都是无限地接近于0，即a无限趋近于a．这三个数列的共同特性是：不论这些变化趋势如何，“随着项数n的无限增大，数列项a无限地趋近于常数a（即∣a－a∣无限地接近于0）”．定义：一般地，如果当项数n无限增大时，无穷数列的项无限地趋近于某个常数a时，（即无限地接近于0），那么就说数列以a为极限，或者说a是数列的极限。表示为2.数列极限的表示方法：①②当时，.3.几个常用极限：①（为常数）②③对于任意实常数，用心爱心专心当时，当时，若a＝1，则；若，则不存在当时，不存在（二）函数极限研究函数的极限，首先考虑自变量x的变化方式有哪些．1.x→∞时，函数的极限考察函数f(x)＝，当x→＋∞和x→－∞时，函数的变化趋势x110100100010000100000…y10.10.010.0010.00010.00001…（1）当x→＋∞时，从图象和表格上看，函数y＝的值无限趋近于0．就是说函数y＝上的极限为0，记作（2）当时，类似地可得函数的值无限趋近于0，就是说，当时，函数的极限为0，记作（3）还可以从差式│y－0│上看，随着x→＋∞(或x→－∞),差式无限趋近于0，即函数y＝无限趋近于0，这说明(或)函数f(x)的变化趋势与极限的关系见下表：变化方式自变量x的变化趋势F(x)值的变化趋势极限表示从数值上看从数轴x上看从图象、表格上看从|y－a|看x→＋∞x取正值并且无限增大单方向，向右无限增大f(x)无限趋近于常数a差式|y－a|无限趋近于0x→－∞x取负值并且绝对值无限增大单方向，向左绝对值无限增大f(x)无限趋近于常数a差式|y－a|无限趋近于0X→∞x取正值并且无限增大,x取负值并且绝对值无限增大双方向，向右无限增大和向左绝对值无限增大f(x)无限趋近于常数a差式|y－a|无限趋近于0几种特殊函数的极限：（1）常数函数f(x)＝C(C为常数,x∈R),有（2）函数（x≠0）,有.2.x→x0时，函数的极限用心爱心专心例1.考察函数y＝x，当χ无限趋近于2时，函数的变化趋势．表一：x1.51.91.991.9991.99991.99999…y2.253.163.963.9963.99963.99996…∣y－4∣1.750.390.040.0040.00040.00004…表二：x2.52.12.012.0012.00012.00001…y6.254.414.044.0044.00044.00004…∣y－4∣2.250.410.040.0040.00040.00004…①从表一上看：自变量x<2趋近于2(x2)时，y4．从表二上看：自变量x>2趋近于2(x2)时，y4．②从图象上看：图象见教科书第79页，自变量x从左侧趋近于2(即x2)和从右侧趋近于2(即x2)时，y都趋近于4．③从差式|y－4|看：差式的值变得任意小(无限接近于0)．从任何一方面看，当x无限趋近于2时，函数y＝x的极限是4．记作：x＝4注意：x2，包括分别从左、右两侧趋近于2．例2.考察函数(x≠1),当x1时的变化趋势.分析：此例虽然在x＝1处没有定义，但仍有极限．即：定义：一般地，当自变量无限趋近于常数（但不等于）时，如果函数无限趋近于一个常数，就是说当趋近于时，函数的极限为．记作或当时，.注：当时，是否存在极限与在处是否有定义无关，因为并不要求．（当然，在处是否有定义也与在处是否存在极限无关．故函数在有定义是存在的既不充分又不必要条件．）如在处无定义，但存在，因为在处左右极限均等于零．3.函数的左、右极限例3考察函数f(x)＝当x0时，或x0时函数的变化趋势．用心爱心专心分析：此例与上两例不同，x从原点某一侧无限趋近于0，f(x)也会无限趋近于一个确定的常数．但从不同一侧趋近于0，f(x)趋近的值不同，这时f(x)在x处无极限．定义：如果x从x＝x的单侧无限趋近于x时，f(x)无限趋近于一个常数a，那么a叫做f(x)单侧的极限．当xx时，f(x)的极限a叫...
