高三数学复数与逻辑（理）人教实验版（A）【本讲教育信息】一.教学内容：复数与逻辑二.重点、难点：1.复数的概念（1）虚数单位（2）复数（3）实部（4）虚部（5）虚数（6）纯虚数（7）复平面、实轴、虚轴（8）共扼复数：与2.复数运算（）3.命题：真命题、假命题4.四种命题：原命题，逆命题，否命题，逆否命题。互为逆否命题的一对命题，同真同假。5.充分必要条件且，则称是的充分不必要条件。且，则称是的必要不充分条件。且，则称是的充要条件。且，则称是的既不充分也不必要条件6.逻辑联结词或（p，q中有一个真，为真）且（中有一个假，为假）非（与一真一假）7.全称量词（任意，所有）全称命题8.存在量词（存在一个，有一个）特称命题用心爱心专心【典型例题】[例1]若，求实数的值。分析：将等式左边整理成后，利用复数相等的充要条件，列出方程组，求出的值。解答：原式可以化为根据复数相等的充要条件，有，解得[例2]已知关于x的方程有实根，则实数m满足（）A.B.C.D.解答：设实根为，则，即∴解得，故选D。[例3]已知对应的点分别为P1、P2，则对应的复数为（）A.B.C.D.解答：因为，对应的复数为，故选B。[例4]复数的值为（）A.0B.1C.D.解析：由及2010被4除余2知，，∴故选D。[例5]已知，复数，当为何值时，（1）；（2）是纯虚数；（3）对应的点位于复平面第二象限；（4）对应的点在直线上。分析：复数，当且仅当时，；当且仅当且时，为纯虚数，当时，对应的点位于复平面的第二象限；复数对应的点的坐标是直线方程的解，这个点就在这条直线上。解答：（1）由且，得，故当时，。用心爱心专心（2）由解得，或∴当或时，为纯虚数（3）由解得或故当或时，z对应的点位于复平面的第二象限。（4）由，得解得或∴当或时，点z在直线上[例6]计算：（1）；（2）分析：本题若按复数乘除法和乘方法则直接计算，则显得十分繁琐。若能结合题目特点，联想结论和的性质。对于（2）题并注意到，计算会简便许多。解答：（1）原式其中（2）原式[例7]已知z是复数，均为实数（为虚数单位），且复数在复平面上对应的点在第一象限，求实数的取值范围。解析：设，由题意得用心爱心专心由题意得∴ 根据条件，可知，解得∴实数的取值范围是（2，6）[例8]复数，复数满足，则复数z=。答案：解析：设，则∴∴∴[例9]已知，且为实数，则等于（）A.－1B.－2C.2D.1答案：A解析： 为实数∴[例10]设关于x的方程是；（1）若方程有实数根，求锐角和实数根；（2）证明：对任意，方程无纯虚数根。解析：（1）设实数根是，则，即 ，∴∴，且，又，∴（2）若方程存在纯虚数根，设为，则，即用心爱心专心此方程组无实数解∴对任意，方程无虚数根。[例11]对于个复数，如果存在个不全为零的实数，使得，就称线性相关，若要说明复数，，线性相关，那么可取。（只要写出满足条件的一组值即可）解答：由得即∴∴故填或等[例12]已知：，求是的什么条件。解答：可转化为∴观察上图知，∴是的充分而不必要条件[例13]命题甲：“成等差数列”，命题乙：“”，则甲是乙的（）A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件用心爱心专心解析： ，则也成等差数列，但推不出；反过来由，即成等差数列。综上所述，“成等差数列”是“”的必要不充分条件，故选A。[例14]设是方程的两个实根，试分析且是两根均大于1的什么条件？分析：把充要条件和方程中根与系数的关系问题相联系，解题时需要搞清楚条件与结论分别指什么，然后再验证还是，还是。解答：据韦达定理得，判定的条件是，结论是（还要注意条件中需要满足大前提）（1）由，得，，∴（2）为了证明，可以举出反例：取，，它满足，，且满足，但不成立。由上述讨论可知：且是必要但不充分条件。[例15]给出命题：“已知是实数，若且，则”。对原命题、逆命题、否命题、逆否命题而言，其中的真命题有（）A.0个B.1个C.2个D.4个解析：本题考查四种命题，其中原命题与逆否命题、逆命题与否命题等价，故只要判断原命题与逆命题的真假即可，可以判断出四个命题都是假命题。∴选A。[例16]下列判断错误的是（）A.命题“若则”与命题“若则”互为逆否命题B.“”是“”的充...
