高三数学备考练习：第十三讲构造法 旧人教版VIP免费

高考资源网www.ks5u.com奥林匹克与自主招生《第十三讲构造法》主编：贾广素130第十三讲构造法面对奇异多变的大千世界，千百年来，人们积极认识它，不断改造它，并积累了十分丰富的经验.那种将抽象问题具体化，复杂问题简单化的处理方法，使人们解决了无数生产、生活难题.而构造法作为重要的数学方法，则是数学家们智慧的充分展现.把数学问题中有关条件设想在某种意义上实施从而使问题解决.我们称之为构造法解题.构造法是将所要解决的数学问题具体构造出来，利用相对更为熟悉的模型来表达所要研究的问题的方法，这种方法有时往往能收到事半功倍的效果.在历史上，曾经有很多数学家非常欣赏构造法的证明，甚至认为只有构造法证明的重要性.一．利用构造法解不等式问题证明有些不等式时,若按照常规思维寻求解答,往往比较困难,甚至一时受阻,这时就应该调整思维方式,寻求新的解题方法.构造数学模型是常用的技巧之一,根据题目的特点,巧妙地构造图形、函数、数列等，可使复杂的问题简单化,使不等式获得简捷的证明.1.构造图形数形结合是一种很重要的数学思想方法,正如华罗庚先生所说的那样：“数形结合百般好,隔离分家万事休.”当题设中的数量关系有比较明显的几何意义或以某种方式与几何图形相联系时,可以根据已知条件或结论构造出符合题目要求的几何图形,把数量关系转化为图形性质问题,原问题就可以迎刃而解了.例1.若a,b,c均是小于1的正数，求证：22ba+22)1(ba+22)1(ba+22)1()1(ba≥22分析：从题型上看这是个纯代数题.但用代数法证非常难.如果把左边的式子用几何意义来理解，看作是直角三角形的斜边为此，按如图构造一个正方形，并按图划分为四个矩形.显然DO=22ba，OC=22)1(ba，AO=22)1(ba，OB=22)1()1(ba由图可知：OA+OC+OB+OD≥AC+BD=22且当且仅当O为AC与BD交点时，即：a=b=21时取等号.即：原不等式成立.且当a=b=21时取等号.1-aab1-bODCBA高考资源网www.ks5u.com奥林匹克与自主招生《第十三讲构造法》主编：贾广素131探究1：正数a，b，c，A，B，C满足a+A=b+B=c+C=k，求证：aB+bC+cA313n简析与证明：设an=(1+1)(1+41)…(1+231n)=12·45·78…5343nn·2313nn构造对偶式：bn=23·56·89…4333nn·133nn，cn=34·67·910…3323nn·nn31313112311nn，nn3112311即an>bn，an>cn，∴3na>anbncn∴an>313n，即：(1+1)(1+41)…(1+231n)>313n。高考资源网www.ks5u.com奥林匹克与自主招生《第十三讲构造法》主编：贾广素132二．利用构造法求最值例3．（2001年希望杯试题）已知a、b都是正数，a－b=3,求当a、b为何值时42a+252b有最小值，并求这个最小值。分析：方法（1）、如图○1，原式可化为22)02()0(a+22)05()3(a，因此可以理解为在直角坐标系中X轴上找一点P（a,0），使它到M（0，2）和N（3，5）距离的和最小。最小距离可以通过找M的对称点M1（0，－2），连结MM1，MM1就是最小距离，可以在直角三角形M1MN中用勾股定理求得。方法（2）如图○2，在直线L上取一点P，截取PM=a，PN=3－a，过M、N分别作L的垂线AM，BN，AM=2，BN=5，连结AP、BP，在Rt△PAM和Rt△PBN中，PA=42aPB=252b=25)3(2a=25)3(2a，即为求PA+PB的最小值。画出点A关于直线L的对称...