数学原创试题（16）函数与方程一、选择题1．已知)(xf唯一的零点在区间(1,3)、(1,4)、(1,5)内，那么下面命题错误的（）A．函数)(xf在(1,2)或2,3内有零点B．函数)(xf在(3,5)内无零点C．函数)(xf在(2,5)内有零点D．函数)(xf在(2,4)内不一定有零点2．函数f(x)＝x－sinx在区间[0,2π]上的零点个数为()A．1B．2C．3D．43．函数f(x)＝－cosx在[0，＋∞)内()A．没有零点B．有且仅有一个零点C．有且仅有两个零点D．有无穷多个零点4．若函数32()22fxxxx的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：f(1)=－2f(1.5)=0.625f(1.25)=－0.984f(1.375)=－0.260f(1.4375)=0.162f(1.40625)=－0.054那么方程32220xxx的一个近似根（精确到0.1）为（）A．1.2B．1.3C．1.4D．1.55．已知函数,若实数是方程0fx的解,且,则1fx的值为A．恒为正值B．等于0C．恒为负值D．不大于06．已知函数则函数零点个数为()A.1B.2C.3D.47．设函数与的图象的交点为(，)，则所在的区间是()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)二、填空8．已知函数f(x)＝x＋log2x，则f(x)在[，2]内的零点的个数是______．9．已知f(x)＝|x|＋|x－1|，若g(x)＝f(x)－a的零点个数不为0，则a的最小值为________．10．若函数f(x)＝x2＋ax＋b的两个零点是－2和3，则不等式af(－2x)＞0的解集是________．三、解答题11．某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时每吨为1.80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨3.00元，某月甲、乙两户共交水费y元，已知甲、乙两户该月用水量分别为5x,3x(吨)．(1)求y关于x的函数；(2)若甲、乙两户该月共交水费26.4元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费．用心爱心专心1参考答案一、选择1【答案】C【解析】唯一的零点必须在区间(1,3)，而不在3,58【答案】B【解析】：在同一坐标系内作出函数y＝x及y＝sinx在[0,2π]上的图象，发现它们有两个交点，即函数f(x)在[0,2π]上有两个零点．9解析：在同一直角坐标系中分别作出函数y＝和y＝cosx的图象，如图，由于x＞1时，y＝＞1，y＝cosx≤1，所以两图象只有一个交点，即方程－cosx＝0在[0，＋∞)内只有一个根，所以f(x)＝－cosx在[0，＋∞)内只有一个零点，所以选B.答案：B4【答案】C【解析】f(1.40625)=－0.054<0，f(1.4375)=0.162>0且都接近0，由二分法可知其根近似于1.4。5【答案】A【解析】:因为函数12xy和3logyx都是单调减函数,所以函数31log2xfxx为减函数.又因为实数是方程0fx的解,所以00fx,所以当时,1fx的值恒为正值.故选A.6【答案】C【解析】：只要画出分段函数的图象，就可以知道图象与x轴有三个交点，即函数的零点有3个.答案：C7【答案】B【解析】令g(x)＝x3－22－x，可求得：g(0)<0，g(1)<0，g(2)>0，g(3)>0，g(4)>0，易知函数g(x)的零点所在区间为(1,2).8【答案】1【解析】易知g(x)＝x与h(x)＝log2x均为增函数，故函数f(x)为增函数，且f(2)·f()<0，故函数有且只有一个零点．9【答案】1【解析】：作f(x)的图象，如图，g(x)=f(x)-a=0，即f(x)=a，当a=1时，g(x)有无数个零点；当a>1时，用心爱心专心2g(x)有2个零点；∴a的最小值为1.10【答案】【解析】∵f(x)＝x2＋ax＋b的两个零点是－2,3.∴－2,3是方程x2＋ax＋b＝0的两根，由根与系数的关系知，∴，∴f(x)＝x2－x－6.∵不等式af(－2x)＞0，即－(4x2＋2x－6)＞02⇔x2＋x－3＜0，解集为.三解答题11解析：(1)当甲的用水量不超过4吨时，即5x≤4时，乙的用水量也不超过4吨，y＝(5x＋3x)×1.8＝14.4x；当甲的用水量超过4吨，乙的用水量不超过4吨时，即3x≤4且5x＞4.y＝4×1.8＋3x×1.8＋3(5x－4)＝20.4x－4.8.当乙的用水量超过4吨，即3x＞4时，y＝24x－9.6，所以y＝(2)由于y＝f(x)在各段区间上均单调递增．当x∈[0，]时，y≤f()<26.4；当x∈(，]时，y≤f()<26.4；当x∈(，＋∞)时，令24x－9.6＝26.4，得x＝1.5.所以甲户用水量为5x＝7.5吨，付费S1＝4×1.8＋3.5×3＝17.7(元)，乙户用水量为3x＝4.5吨，付费S2＝4×1.8＋0.5×3＝8.7(元)．用心爱心专心3
