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高三数学函数零点的判断及其运用三注意VIP免费

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函数零点的判断及其运用三注意一.知识篇1.注意函数的零点与方程的根的关系:一般地,对于函数()yfx(xD)我们称方程()0fx的实数根x也叫做函数的零点,即函数的零点就是使函数值为零的自变量的值.求综合方程f(x)=g(x)的根或根的个数就是求函数()()yfxgx的零点.2.注意函数的图像与方程的根的关系:一般地,函数()yfx(xD)的图像与x轴交点的横坐标就是()0fx的根.综合方程f(x)=g(x)的根,就是求函数y=f(x)与y=g(x)的图像的交点或交点个数,或求方程()()yfxgx的图像与x轴交点的横坐标.3.注意判断一个函数是否有零点的方法:如果函数()yfx在区间[a,b]上图像是连续不断的曲线,并且有()()0fafb,那么,函数()yfx在区间(a,b)上至少有一个零点,即至少存在一个数(,)cab使得()0fc,这个c也就是方程()0fx的一个根.对于我们学习的简单函数,可以借助()yfx图像判断解的个数,或者把()fx写成()()gxhx,然后借助()ygx、()yhx的图像的交点去判断函数()fx的零点情况.二.运用篇1.判断函数零点注意构造新函数[例1]已知二次函数2()fxaxbxc对于x1、x2R,且x1<x2时12()()fxfx,求证:方程()fx=121[()()]2fxfx有不等实根,且必有一根属于区间(x1,x2).解:设构造函数F(x)=()fx-121[()()]2fxfx,则方程()fx=121[()()]2fxfx①与方程F(x)=0②等价. F(x1)=1()fx-121[()()]2fxfx=121[()()]2fxfxF(x2)=2()fx-121[()()]2fxfx=121[()()]2fxfx用心爱心专心∴F(x1)·F(x2)=-2121[()()]4fxfx,又12()()fxfx∴F(x1)·F(x2)<0故方程②必有一根在区间(x1,x2)内.由于抛物线y=F(x)在x轴上、下方均有分布,所以此抛物线与x轴相交于两个不同的交点,即方程②有两个不等的实根,从而方程①有两个不等的实根,且必有一根属于区间(x1,x2).点评:本题由于方程是()fx=121[()()]2fxfx,其中因为有()fx表达式,所以解题中有的学生不理解函数图像与方程的根的联系,误认为证明()fx的图像与x轴相交于两个不同的点,从而证题中着眼于证1()fx2()fx<0,使本题没法解决.本题中将问题转化为F(x)=()fx-121[()()]2fxfx的图像与x轴相交于两个不同的两点是解题的关健所在.2.判断函数零点要注意函数图象的连续性[例2].试确定方程322420xxx最小根所在的区间,并使区间两个端点是两个连续的整数.分析:构造函数()fx=32242xxx,我们可以从函数式中发现其自变量没有任何限制,也就是说其函数图象是连续的.判断一个函数在一个区间是否有零点,首先要保证图像是连续不断的曲线.在得到这一保证后就可以计算()fx的自变量x取整数值时的函数值,根据其符号,确定方程根的个数及根的分布.解:令()fx=32242xxx (3)f=-54-9+12+2=-49<0;(2)f=-16-4+8+2=-10<0;(1)f=-2-1+4+2=3>0;(0)f=0-0-0+2=2>0;(1)f=2-1-4+2=-1<0(2)f=16-4-8+2=6>0.根据(2)f·(1)f<0,(0)f·(1)f<0,(1)f·(2)f<0可知()fx的零点分别在区间(-2,-1),(0,1),(1,2)内.因为方程是一个一元三次方程,所以它最多有三个根,所以原方程的最小根在区间(-2,-1)内.点评:计算一元高次函数值可借助于计算器来完成,在实数范围内一元n次方程最多有n个实根,当然本题也可以用因式分解方法来解.如:32242xxx用心爱心专心22121221222xxxxx22212xxx.所以32242xxx=0有三个根:1,2,22.3.函数零点的运用要注意数形结合思想的渗透[例3]已知函数0)1(),1(2)(2fbccbxxxf,且方程01)(xf有实根.(1)求证:-3

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