高三数学函数零点的判断及其运用三注意VIP专享VIP免费

函数零点的判断及其运用三注意一.知识篇1.注意函数的零点与方程的根的关系：一般地，对于函数()yfx（xD）我们称方程()0fx的实数根x也叫做函数的零点，即函数的零点就是使函数值为零的自变量的值.求综合方程f(x)=g(x)的根或根的个数就是求函数()()yfxgx的零点.2.注意函数的图像与方程的根的关系：一般地，函数()yfx（xD）的图像与x轴交点的横坐标就是()0fx的根.综合方程f(x)=g(x)的根，就是求函数y＝f(x)与y=g(x)的图像的交点或交点个数，或求方程()()yfxgx的图像与x轴交点的横坐标.3.注意判断一个函数是否有零点的方法：如果函数()yfx在区间[a,b]上图像是连续不断的曲线，并且有()()0fafb，那么，函数()yfx在区间（a,b）上至少有一个零点，即至少存在一个数(,)cab使得()0fc，这个c也就是方程()0fx的一个根.对于我们学习的简单函数，可以借助()yfx图像判断解的个数，或者把()fx写成()()gxhx，然后借助()ygx、()yhx的图像的交点去判断函数()fx的零点情况.二.运用篇1.判断函数零点注意构造新函数[例1]已知二次函数2()fxaxbxc对于x1、x2R，且x1＜x2时12()()fxfx，求证：方程()fx＝121[()()]2fxfx有不等实根，且必有一根属于区间（x1，x2）.解：设构造函数F（x）＝()fx－121[()()]2fxfx，则方程()fx＝121[()()]2fxfx①与方程F（x）＝0②等价. F（x1）＝1()fx－121[()()]2fxfx＝121[()()]2fxfxF（x2）＝2()fx－121[()()]2fxfx＝121[()()]2fxfx用心爱心专心∴F（x1）·F（x2）＝－2121[()()]4fxfx，又12()()fxfx∴F（x1）·F（x2）＜0故方程②必有一根在区间（x1，x2）内.由于抛物线y＝F（x）在x轴上、下方均有分布，所以此抛物线与x轴相交于两个不同的交点，即方程②有两个不等的实根，从而方程①有两个不等的实根，且必有一根属于区间（x1，x2）.点评：本题由于方程是()fx＝121[()()]2fxfx，其中因为有()fx表达式，所以解题中有的学生不理解函数图像与方程的根的联系，误认为证明()fx的图像与x轴相交于两个不同的点，从而证题中着眼于证1()fx2()fx＜0，使本题没法解决.本题中将问题转化为F（x）＝()fx－121[()()]2fxfx的图像与x轴相交于两个不同的两点是解题的关健所在.2.判断函数零点要注意函数图象的连续性[例2].试确定方程322420xxx最小根所在的区间，并使区间两个端点是两个连续的整数.分析：构造函数()fx＝32242xxx，我们可以从函数式中发现其自变量没有任何限制,也就是说其函数图象是连续的.判断一个函数在一个区间是否有零点,首先要保证图像是连续不断的曲线.在得到这一保证后就可以计算()fx的自变量x取整数值时的函数值，根据其符号，确定方程根的个数及根的分布.解：令()fx＝32242xxx (3)f＝－54－9＋12＋2＝－49＜0;(2)f＝－16－4＋8＋2＝－10＜0;(1)f＝－2－1＋4＋2＝3＞0;(0)f＝0－0－0＋2＝2＞0;(1)f＝2－1－4＋2＝－1＜0(2)f＝16－4－8＋2＝6＞0.根据(2)f·(1)f＜0，(0)f·(1)f＜0，(1)f·(2)f＜0可知()fx的零点分别在区间（－2，－1），（0,1），（1,2）内.因为方程是一个一元三次方程，所以它最多有三个根，所以原方程的最小根在区间（－2，－1）内.点评：计算一元高次函数值可借助于计算器来完成，在实数范围内一元n次方程最多有n个实根，当然本题也可以用因式分解方法来解.如:32242xxx用心爱心专心22121221222xxxxx22212xxx.所以32242xxx＝0有三个根：1,2,22.3.函数零点的运用要注意数形结合思想的渗透[例3]已知函数0)1(),1(2)(2fbccbxxxf，且方程01)(xf有实根.(1)求证：-3