高三数学中学生错设圆锥曲线方程的原因与例析VIP免费

32中笠囤锥由搜力往中学教学研究僭瑶目解聊2000年摹B栩音弓中学生错设圆锥曲线方程曲原因与例析珠海市斗门县城东中学—O／Y2．求圆锥曲线方程是中学解析几何的重要内容．而待定系数法是中学数学的基本方法，正确设立圆锥曲线方程是应用待定系数法求曲线方程的关键．中学生错设圆锥曲线方程而引致解题出错，原因有三：(一)没有掌握衄线标准方程的特征与对应曲线的规律；(二)数形结合的能力不强；(三)不注意分析题设条件，盲目设立曲线方程．例l：已知抛物线的顶点在原点，对称轴是y轴，并且经过点M(一6，一3)，求抛物线的标准方程．黼：因为抛物线的顶点在坐标原点，对称轴是y轴，所以可设所求抛物线标准方程为：=2py(p>0)．因为抛物线经过M(一6，一3)，所以(一6)=2p(一3)，P：一6．因此，抛物线方程为：；一12．制析：上述解法忽略抛物线的开口方向，从而错设方程．其实，设立抛物线标准方程时，需考虑三个条件：(1)顶点是坐标轴原点；(2)对称轴是坐标轴；(3)开口方向．解：因为抛物线的顶点是坐标轴原点，对称轴是y轴，所以可设抛物线方程为：所以(一6)=A(一3)，即A⋯12=一12y．例2：求两条渐近线方程是y：±号，且经过点．】If(昙，一1)的双曲线的标准方程．2±‘，摹一菩=或享一菩：c。，o，，o因为双曲线经过点．】If(，一1)，所以字一．．，l、2(寻)或一：·⋯叫·y：了2，所以ib=号⋯⋯⋯⋯(2){薹或{a1：=一-8c舍去一萼剖析：虽然所得双曲线方程符台题设要求，但是多设了一个方程，方法不可取．(同时，。和6为负数是错用渐近线方程斯致．)解：因为双曲线的渐近线的方程为=±了2，故设所求双曲线方程为：害一：．因为双曲线经过点(昙，一1)，所以宰一⋯．丁一T，’因此，所求方程为：篙一等：1．例3：求过点(8，1)且与两坐标轴都相切的圆的方程．'1~Jtlt：设所求圆的方程为：+y++毋+，=0．因为圆与两坐标轴都相切，所以设两切点为(0，0)和(0，yo)，又圆过点(8，1)，依次把上述三点代人圆方程得方程组：8D+E+，+65=0j+0+，=0y研nF：0．制析：学生只是从圆经过点(8，1)和两个切点来设圆的方程，没有注意到圆心坐标(d，6)和半径r之间的关系，结果导致解题失败．从图形中可知题设与圆心坐标和半径长设8，6，c，d>0，求证：Ⅱ。+6l0+cl0+d10≥Ⅱ62cd+be2d3Ⅱ+cd64-da6c．证d1o+2bl0+3cO+4d帕≥有关，因此宜设圆的标准方程求解．解：设所求圆的方程为(一Ⅱ)+(y一6)=r．因为圆经过点(8，1)，所以(8一Ⅱ)+(1—6)=r．⋯···(1)又知圆与两坐标轴都相切，所以Ⅱ=6=r．⋯⋯⋯⋯⋯(2)由(1)和(2)式解得d=5或d=15．所以b=r=5或6=r=l5．因此，所求圆的方程为(一5)+(y一5)=25，或(—l5)+(y一15)=225．在使用待定系数法求圆锥曲线方程教学时，要善于启发学生根据已知条件特点选择曲线方程．对于圆，如果已知条件与圆心、半径有关，宜设圆的标准方程；若圆经过三点时，宜设一般方程；对于椭圆、双曲线、抛物线，若已知对称中心或顶点是坐标轴原点、对称轴是坐标轴时，宜设曲线的标准方程；否则宜设一般形式．一般总结为：原心原轴设标准，非心平轴设一般，焦点方向定类型，标准形式先技巧．除此之外，对学生进行敬形结合解题能力和实践操作能力的培养，也是防止学生错设圆锥曲线方程的有效途径．10研：l0。6d，按a，6，c，d次序轮换可得另三式，四式相加除以l0即得证．(深圳市华侨城中学王远征拟题)