三角比的积化和差与和差化积一周强化一、一周知识概述在三角函数的计算、化简和证明过程中，三角函数式的恒等变形，是常用的解题工具，其中三角比的积化和差与和差化积又是进行对三角函数式的恒等变形的常用技能和技巧．因此掌握三角比的积化和差与和差化积，并能利用它们求某些三角比的值，证明三角恒等式及解决一些简单的实际问题是我们在高考中的要求．二、重点知识归纳及讲解1、三角比的积化和差与和差化积公式的推导理解、记忆三角公式的来龙去脉并会进行推导，是学习中应达到的起码要求．因为公式的推导过程充分体现了三角变换的一些基本方法与技能、技巧．2、三角比的积化和差与和差化积公式的应用利用三角比的积化和差与和差化积公式是三角式化简、求值的主要方法．其中变式总是与如何变角、变换函数名称紧密相连，一般地遵循“三看”：一看角，二看三角函数名称，三看式子特征，并注意角、三角函数名称和式子特征这三者之间的相互关系和相互联系，不断向有利于结论的方向转化．用心爱心专心例1、若cosA＋cosB－cos(A＋B)=，其中A∈(0，π)，B∈(0，π)．求A、B．解：评价：由一个方程确定两个未知量，一个常用方法即：整理已知方程为f2(x)＋g2(x)=0的形式，化为方程组的解．例2、已知sinA＋sin3A＋sin5A=a，cosA＋cos3A＋cos5A=b．（1）若b≠0，求证：tan3A=;(2)求(1＋2cos2A)2的值．解：（1）sinA＋sin3A＋sin5A=sinA＋sin5A＋sin3A==2sin3A·cos2A＋sin3A=sin3A(1＋2cos2A)，∴sin3A(1＋2cos2A)=a①用心爱心专心同理有cos3A(1＋2cos2A)=b②两式相除，即得tan3A=．（2）对（1）中①②两式平方求和得：sin23A(1＋2cos2A)2＋cos23A(1＋2cos2A)2=a2＋b2即(1＋2cos2A)2=a2＋b2．评析：注意利用和差化积公式中的角度特征去分析问题．本题中，，恰能帮助建立未知与已知间的一种联系，因此可围绕这一特征进行变形．三、难点知识剖析三角比的积化和差与和差化积的相互转化和灵活运用是本讲的难点．一般有如下常见情况：已知sinx＋siny=p①，cosx＋cosy=q②，求与角x＋y，x－y等有关的三角函数的值，其基本途径有如下几条：（1）①、②两式分别平方后相加，得cos(x－y)=(p2＋q2－2)；（2）①、②两式分别平方后相减，得cos(x＋y)[cos(x－y)＋1]=(q2－p2)；（3）①、②分别和差化积后相除得；（4）①×②并整理，得：sin(x＋y)[cos(x－y)＋1]=pq．由以上四式中任意两式搭配，即可求得x＋y和x－y的三角函数值．用心爱心专心例3、已知sinx＋siny=，cosx＋cosy=，求cosx·cosy的值．解：∵sinx＋siny=①cosx＋cosy=②将①、②分别平方后相加，得cos(x－y)=③再将①、②分别平方后相减，得cos(x＋y)[cos(x－y)＋1]=④将③代入④，得cos(x＋y)=.用心爱心专心
