开卷速查(六十三)二项式定理A级基础巩固练1．设(1＋x)n＝a0＋a1x＋…＋anxn，若a1＋a2＋…＋an＝63，则展开式中系数最大项是()A．15x2B．20x3C．21x3D．35x3解析：令x＝0，得a0＝1，再令x＝1，得2n＝64，∴n＝6，故展开式中系数最大项是T4＝Cx3＝20x3。答案：B2．已知二项式n的展开式中第4项为常数项，则1＋(1－x)2＋(1－x)3＋…＋(1－x)n中x2项的系数为()A．－19B．19C．20D．－20解析：n的展开式Tr＋1＝C()n－r·r＝Cx，由题意知－＝0，得n＝5，则所求式子中的x2项的系数为C＋C＋C＋C＝1＋3＋6＋10＝20。答案：C3．设a∈Z，且0≤a＜13，若512012＋a能被13整除，则a＝()A．0B．1C．11D．12解析：512012＋a＝a＋(1－13×4)2012＝a＋1－C13×4＋C(13×4)2＋…＋C(13×4)2012，又512012＋a能被13整除，又 0≤a＜13，∴a＋1＝13，故a＝12。答案：D4．若(1－2x)2014＝a0＋a1x＋…＋a2013x2013＋a2014x2014(x∈R)，则＋＋…＋＋的值为()A．2B．0C．－1D．－2解析：令x＝0，则a0＝1，令x＝，则a0＋＋＋…＋＋＝0，∴＋＋…＋＋＝－1，故选C。答案：C5．若(x＋2＋m)9＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9，且(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝39，则实数m的值为()A．1或－3B．－1或3C．1D．－3解析：令x＝0，得到a0＋a1＋a2＋…＋a9＝(2＋m)9，令x＝－2，得到a0－a1＋a2－a3＋…－a9＝m9，所以有(2＋m)9m9＝39，即m2＋2m＝3，解得m＝1或－3，故选A。答案：A6．设a＝(3x2－2x)dx，则二项式6展开式中的第4项为()A．－1280x3B．－1280C．240D．－240解析：由微积分基本定理知a＝4，6展开式中的第4项为T3＋1＝C(4x2)33＝－1280x3，故选A。答案：A7．[2014·课标Ⅰ](x－y)(x＋y)8的展开式中x2y7的系数为__________。(用数字填写答案)解析：(x＋y)8中，Tr＋1＝Cx8－ryr，令r＝7，再令r＝6，得x2y7的系数为C－C68＝8－28＝－20。答案：－208．[2014·课标Ⅱ](x＋a)10的展开式中，x7的系数为15，则a＝__________。(用数字填写答案)解析：二项展开式的通项公式为Tr＋1＝Cr10x10－rar，当10－r＝7时，r＝3，T4＝Ca3x7，则Ca3＝15，故a＝。答案：9．若将函数f(x)＝x5表示为f(x)＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a5(1＋x)5，其中a0，a1，a2，…，a5为实数，则a3＝__________。解析：不妨设1＋x＝t，则x＝t－1，因此有(t－1)5＝a0＋a1t＋a2t2＋a3t3＋a4t4＋a5t5，则a3＝C(－1)2＝10。答案：1010．已知(a2＋1)n展开式中的各项系数之和等于5的展开式的常数项，而(a2＋1)n的展开式的系数最大的项等于54，求正数a的值。解析：5展开式的通项为Tr＋1＝C5－r·r＝5－rCx，令20－5r＝0，得r＝4，故常数项T5＝C×＝16。又(a2＋1)n展开式的各项系数之和为2n，由题意得2n＝16，∴n＝4。∴(a2＋1)4展开式中系数最大的项是中间项T3，从而C(a2)2＝54，解得a＝。B级能力提升练11．[2014·浙江]在(1＋x)6(1＋y)4的展开式中，记xmyn项的系数为f(m，n)，则f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)＝()A．45B．60C．120D．210解析：由题意知f(3,0)＝CC，f(2,1)＝CC，f(1,2)＝CC，f(0,3)＝CC，因此f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)＝120，选C。答案：C12．设函数f(x)＝则当x＞0时，f[f(x)]表达式的展开式中常数项为()A．－20B．20C．－15D．15解析：当x＞0时，f(x)＝－＜0，则f[f(x)]＝6＝6。Tr＋1＝C()6－r·r＝(－1)rCx·x＝(－1)rCx3－r。令3－r＝0，得r＝3，此时T4＝(－1)3C6＝－20。答案：A13．已知n的展开式中，前三项系数成等差数列。(1)求n；(2)求第三项的二项式系数及项的系数；(3)求含x项的系数。解析：(1) 前三项系数1，C，C成等差数列。∴2·C＝1＋C，即n2－9n＋8＝0。∴n＝8或n＝1(舍)。(2)由n＝8知其通项公式Tr＋1＝C·()8－r·r＝r·C·x，r＝0,1，…，8。∴第三项的二项式系数为C＝28。第三项系数为2·C＝7。(3)令4－r＝1，得r＝4，∴含x项的系数为4·C＝。14．若某一等差数列的首项为C－A，公差为m的展开式中的常数项，其中m是7777－15除以19的余数，则此数列前多少项的和最大？并求出这个最大值。解析：设该等差数列为{an}，公差为d，前n项和为Sn。由已知得又n∈N*，∴n＝2。∴C－A＝C－A＝C－A＝－5×...
