开卷速查(三十九)数学归纳法A级基础巩固练1．[2016·松滋月考]用数学归纳法证明：1×2＋2×3＋3×4＋…＋n×(n＋1)＝(n∈N*)。证明：(1)当n＝1时，左边＝1×2＝2，右边＝＝2＝左边，∴等式成立。(2)假设当n＝k(k∈N*)时，等式成立，即1×2＋2×3＋3×4＋…＋k×(k＋1)＝。则当n＝k＋1时，1×2＋2×3＋3×4＋…＋k×(k＋1)＋(k＋1)(k＋2)＝＋(k＋1)(k＋2)＝。∴n＝k＋1时，等式成立。综上可知，等式对一切正整数n都成立。由(1)(2)可知，原等式对于任意k∈N*成立。2．[2016·绥化月考]数列{an}满足an＋1＝(n∈N*)，且a1＝0。(1)计算a2、a3、a4，并推测an的表达式；(2)请用数学归纳法证明你在(1)中的猜想。解析：(1)a2＝＝；a3＝＝；a4＝＝。由此猜想an＝(n∈N*)。(2)证明：①当n＝1时，a1＝0，结论成立，②假设n＝k(k≥1，且k∈N*)时结论成立，即ak＝，当n＝k＋1时，ak＋1＝＝＝，∴当n＝k＋1时结论成立，由①②知，对于任意的n∈N*，an＝恒成立。B级能力提升练3．[2016·临沂期中]已知数列{an}满足Sn＝2n－an＋1(n∈N*)。(1)计算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通项公式an；(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想。解析：(1)根据数列{an}满足Sn＝2n－an＋1(n∈N*)，当n＝1时，S1＝a1＝2－a1＋1，即a1＝；当n＝2时，S2＝a1＋a2＝4－a2＋1，即a2＝；同理a3＝，a4＝，由此猜想an＝(n∈N*)。(2)证明：当n＝1时，a1＝，结论成立；假设n＝k(k为大于等于1的正整数)时，结论成立，即ak＝。那么当n＝k＋1(k大于等于1的正整数)时，ak＋1＝Sk＋1－Sk＝2(k＋1)－ak＋1－2k＋ak＝2＋ak－ak＋1，∴2ak＋1＝2＋ak，∴ak＋1＝＝＝，即n＝k＋1时，结论成立，∴an＝(n∈N*)成立。4．[2015·江苏]已知集合X＝{1,2,3}，Yn＝{1,2,3，…，n}(n∈N*)，设Sn＝{(a，b)|a整除b或b整除a，a∈X，b∈Yn}，令f(n)表示集合Sn所含元素的个数。(1)写出f(6)的值；(2)当n≥6时，写出f(n)的表达式，并用数学归纳法证明。解析：(1)f(6)＝6＋2＋＋＝13。(2)当n≥6时，f(n)＝(t∈N*)。下面用数学归纳法证明：①当n＝6时，f(6)＝6＋2＋＋＝13，结论成立；②假设n＝k(k≥6)时结论成立，那么n＝k＋1时，Sk＋1在Sk的基础上新增加的元素在(1，k＋1)，(2，k＋1)，(3，k＋1)中产生，分以下情形讨论：1)若k＋1＝6t，则k＝6(t－1)＋5，此时有f(k＋1)＝f(k)＋3＝k＋2＋＋＋3＝(k＋1)＋2＋＋，结论成立；2)若k＋1＝6t＋1，则k＝6t，此时有f(k＋1)＝f(k)＋1＝k＋2＋＋＋1＝(k＋1)＋2＋＋，结论成立；3)若k＋1＝6t＋2，则k＝6t＋1，此时有f(k＋1)＝f(k)＋2＝k＋2＋＋＋2＝(k＋1)＋2＋＋，结论成立；4)若k＋1＝6t＋3，则k＝6t＋2，此时有f(k＋1)＝f(k)＋2＝k＋2＋＋＋2＝(k＋1)＋2＋＋，结论成立；5)若k＋1＝6t＋4，则k＝6t＋3，此时有f(k＋1)＝f(k)＋2＝k＋2＋＋＋2＝(k＋1)＋2＋＋，结论成立；6)若k＋1＝6t＋5，则k＝6t＋4，此时有f(k＋1)＝f(k)＋1＝k＋2＋＋＋1＝(k＋1)＋2＋＋，结论成立。综上所述，结论对满足n≥6的自然数n均成立。
