【状元之路】2017届高三数学一轮总复习第六章不等式、推理与证明6.7数学归纳法模拟试题高考模拟备考套餐加固训练练透考点1．[2016·青岛质检]已知数列{an}中，a1＝a(a＞2)，对一切n∈N*，an＞0，an＋1＝，求证：an＞2且an＋1＜an。证明：方法一：∵an＋1＝＞0，∴an＞1，∴an－2＝－2＝≥0，∴an≥2。若存在ak＝2，则ak－1＝2，由此可推出ak－2＝2，…，a1＝2，与a1＝a＞2矛盾，故an＞2。∵an＋1－an＝＜0，∴an＋1＜an。方法二：(用数学归纳法证明an＞2)①当n＝1时，a1＝a＞2，故命题an＞2成立；②假设n＝k(k≥1且k∈N*)时命题成立，即ak＞2，那么，ak＋1－2＝－2＝＞0。所以ak＋1＞2，即n＝k＋1时命题也成立。综上所述，命题an＞2对一切正整数成立。an＋1＜an的证明同上。2．[2016·山西六校联考]等比数列{an}的前n项和为Sn，已知对任意的n∈N*，点(n，Sn)均在函数y＝bx＋r(b>0且b≠1，b，r均为常数)的图象上。(1)求r的值；(2)当b＝2时，记bn＝2(log2an＋1)(n∈N*)，证明：对任意的n∈N*，不等式··…·>成立。解析：(1)由题意，Sn＝bn＋r，当n≥2时，Sn－1＝bn－1＋r。所以an＝Sn－Sn－1＝bn－1(b－1)。由于b>0且b≠1，所以n≥2时，{an}是以b为公比的等比数列。又a1＝b＋r，a2＝b(b－1)，∴＝b，即＝b，解得r＝－1。(2)证明：由(1)知an＝2n－1，因此bn＝2n(n∈N*)，所证不等式为··…·>。①当n＝1时，左式＝，右式＝，左式>右式，所以结论成立。②假设n＝k(k≥1，k∈N*)时结论成立，即··…·>，则当n＝k＋1时，··…··>·＝，要证当n＝k＋1时结论成立，只需证≥，即证≥，由均值不等式＝≥成立，故≥成立，所以，当n＝k＋1时，结论成立。由①②可知，n∈N*时，不等式··…·>成立。
