开卷速查(三十八)直接证明与间接证明A级基础巩固练1．[2016·周口模拟]用反证法证明命题：若a＋b＋c为偶数，则“自然数a，b，c恰有一个偶数”时正确反设为()A．自然数a，b，c都是奇数B．自然数a，b，c都是偶数C．自然数a，b，c中至少有两个偶数D．自然数a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数解析：由于“自然数a，b，c中恰有一个偶数”的否定是“自然数a，b，c都是奇数或至少有两个偶数”，故选D。答案：D2．[2016·宁波模拟]分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证
0⇔(a－c)(2a＋c)>0⇔(a－c)(a－b)>0。答案：C3．若P＝＋，Q＝＋(a≥0)，则P，Q的大小关系是()A．P＞QB．P＝QC．P＜QD．由a的取值确定解析： 要证P＜Q，只要证P2＜Q2，只要证：2a＋7＋2＜2a＋7＋2·，只要证：a2＋7a＜a2＋7a＋12，只要证：0＜12， 0＜12成立，∴P＜Q成立。答案：C4．设x，y，z∈(0，＋∞)，a＝x＋，b＝y＋，c＝z＋，则a，b，c三数()A．至少有一个不大于2B．都小于2C．至少有一个不小于2D．都大于2解析：a＋b＋c＝x＋＋y＋＋z＋≥6，因此a，b，c至少有一个不小于2。答案：C5．要使－＜成立，则a，b应满足()A．ab＜0且a＞bB．ab＞0且a＞bC．ab＜0且a＜bD．ab＞0且a＞b或ab＜0且a＜b解析：要使－＜成立，只要(－)3＜()3成立，即a－b－3＋3＜a－b成立，只要＜成立，只要ab2＜a2b成立，即要ab(b－a)＜0成立，只要ab＞0且a＞b或ab＜0且a＜b成立。答案：D6．已知a＞b＞0，且ab＝1，若0＜c＜1，p＝logc，q＝logc2，则p，q的大小关系是()A．p＞qB．p＜qC．p＝qD．p≥q解析： ＞ab＝1，∴p＝logc＜0。又q＝logc2＝logc＞logc＝logc＞0，∴q＞p。答案：B7．设a＝＋2，b＝2＋，则a，b的大小关系为__________。解析：a＝＋2，b＝2＋两式的两边分别平方，可得a2＝11＋4，b2＝11＋4，显然，＜。∴a＜b。答案：a＜b8．用反证法证明命题“若实数a，b，c，d满足a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd＞1，则a，b，c，d中至少有一个是非负数”时，第一步要假设结论的否定成立，那么结论的否定是__________。解析：“至少有一个”的否定是“一个也没有”，故结论的否定是“a，b，c，d中没有一个是非负数，即a，b，c，d全是负数”。答案：a，b，c，d全是负数9．设a，b是两个实数，给出下列条件：①a＋b>1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a2＋b2>2；⑤ab>1。其中能推出：“a，b中至少有一个大于1”的条件是__________。(填序号)解析：若a＝，b＝，则a＋b>1，但a<1，b<1，故①推不出；若a＝b＝1，则a＋b＝2，故②推不出；若a＝－2，b＝－3，则a2＋b2>2，故④推不出；若a＝－2，b＝－3，则ab>1，故⑤推不出；对于③，即a＋b>2，则a，b中至少有一个大于1，反证法：假设a≤1且b≤1，则a＋b≤2与a＋b＞2矛盾，因此假设不成立，故a，b中至少有一个大于1。答案：③10．设数列{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和。(1)求证：数列{Sn}不是等比数列；(2)数列{Sn}是等差数列吗？为什么？解析：(1)证明：假设数列{Sn}是等比数列，则S＝S1S3，即a(1＋q)2＝a1·a1·(1＋q＋q2)，因为a1≠0，所以(1＋q)2＝1＋q＋q2，即q＝0，这与公比q≠0矛盾，所以数列{Sn}不是等比数列。(2)当q＝1时，Sn＝na1，故{Sn}是等差数列；当q≠1时，{Sn}不是等差数列，否则2S2＝S1＋S3，即2a1(1＋q)＝a1＋a1(1＋q＋q2)，得q＝0，这与公比q≠0矛盾。综上，当q＝1时，数列{Sn}是等差数列；当q≠1时，{Sn}不是等差数列。B级能力提升练11．[2016·青岛模拟]设x，y，z＞0，则三个数＋，＋，＋()A．都大于2B．至少有一个大于2C．至少有一个不小于2D．至少有一个不大于2解析：因为x＞0，y＞0，z＞0，所以＋＋＝＋＋≥6，当且仅当x＝y＝z时等号成立，则三个数中至少有一个不小于2，故选C。答案：C12．[2016·营口模拟]若a，b，c是不全相等的正数，给出下列判断：①(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0；②a＞b与a＜b及a＝b中至少有一个成立；③a≠c，b≠c，a≠b不能同时成立。其中判断...
