开卷速查(三十四)一元二次不等式及其解法A级基础巩固练1．[2016·成都诊断]使不等式2x2－5x－3≥0成立的一个充分不必要条件是()A．x≥0B．x＜0或x＞2C．x∈{－1,3,5}D．x≤－或x≥3解析：不等式2x2－5x－3≥0的解集是。由题意，选项中x的范围应该是上述解集的真子集，只有C满足。答案：C2．[2016·温州模拟]若不等式(x－a)(x－b)＜0的解集为{x|1＜x＜2}，则a＋b的值为()A．3B．1C．－3D．－1解析：因为不等式(x－a)(x－b)＜0的解集为{x|1＜x＜2}，所以1和2为方程(x－a)(x－b)＝0的两个根，则有或所以a＋b＝1＋2＝3，即a＋b的值为3。答案：A3．已知函数f(x)＝(ax－1)(x＋b)，如果不等式f(x)＞0的解集是(－1,3)，那么不等式f(－2x)＜0的解集是()A.∪B.C.∪D.解析：由f(x)＞0，得ax2＋(ab－1)x－b＞0，又其解集是(－1,3)，∴a＜0，且解得a＝－1或，∴a＝－1，b＝－3，∴f(x)＝－x2＋2x＋3，∴f(－2x)＝－4x2－4x＋3，由－4x2－4x＋3＜0，得4x2＋4x－3＞0，解得x＞或x＜－，故选A。答案：A4．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c，不等式f(x)＜0的解集为{x|x＜－3或x＞1}，则函数y＝f(－x)的图象可以为()A.B.C.D.解析：由f(x)＜0的解集为{x|x＜－3或x＞1}知a＜0，y＝f(x)的图象与x轴交点为(－3,0)，(1,0)，所以f(－x)图象开口向下，与x轴交点为(3,0)，(－1,0)。答案：B5．若不等式x2－2ax＋a＞0对一切实数x∈R恒成立，则关于t的不等式at2＋2t－3＜1的解集为()A．(－3,1)B．(－∞，－3)∪(1，＋∞)C．∅D．(0,1)解析：不等式x2－2ax＋a＞0对一切实数x∈R恒成立，则Δ＝(－2a)2－4a＜0，即a2－a＜0，解得0＜a＜1，所以不等式at2＋2t－3＜1转化为t2＋2t－3＞0，解得t＜－3或t＞1，故选B。答案：B6．若不等式(a－a2)(x2＋1)＋x≤0对一切x∈(0,2]恒成立，则a的取值范围是()A.B.C.∪D.解析： x∈(0,2]，∴a2－a≥＝。要使a2－a≥在x∈(0,2]时恒成立，则a2－a≥max，由基本不等式得x＋≥2，当且仅当x＝1时，等号成立，即max＝。由a2－a≥，解得a≤或a≥。答案：C7．若不等式x2－(a＋1)x＋a≤0的解集是[－4,3]的子集，则a的取值范围是__________。解析：原不等式即(x－a)(x－1)≤0，当a＜1时，不等式的解集为[a,1]，此时只要a≥－4即可，即－4≤a＜1；当a＝1时，不等式的解集为x＝1，此时符合要求；当a＞1时，不等式的解集为[1，a]，此时只要a≤3即可，即1＜a≤3。综上可得－4≤a≤3。答案：[－4,3]8．已知二次函数f(x)的二次项系数为a，且不等式f(x)＞0的解集为(1,2)，若f(x)的最大值小于1，则a的取值范围是__________。解析：由题意知a＜0，可设f(x)＝a(x－1)(x－2)＝ax2－3ax＋2a，∴f(x)max＝f＝－＜1，∴a＞－4，故－4＜a＜0。答案：(－4,0)9．若关于x的不等式x2＋x－n≥0对任意n∈N*在x∈(－∞，λ]上恒成立，则实数λ的取值范围是__________。解析：由题意知x2＋x≥＝，解得x≥或x≤－1。又x∈(－∞，λ]，所以λ的取值范围是(－∞，－1]。答案：(－∞，－1]10．已知f(x)＝x2－2ax＋2(a∈R)，当x∈[－1，＋∞)时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围。解析：方法一：f(x)＝(x－a)2＋2－a2，此二次函数图象的对称轴为x＝a。①当a∈(－∞，－1)时，f(x)在[－1，＋∞)上单调递增，f(x)min＝f(－1)＝2a＋3。要使f(x)≥a恒成立，只需f(x)min≥a，即2a＋3≥a，解得－3≤a＜－1；②当a∈[－1，＋∞)时，f(x)min＝f(a)＝2－a2，由2－a2≥a，解得－1≤a≤1。综上所述，所求a的取值范围是[－3,1]。方法二：令g(x)＝x2－2ax＋2－a，由已知，得x2－2ax＋2－a≥0在[－1，＋∞)上恒成立，即Δ＝4a2－4(2－a)≤0或解得－3≤a≤1。所求a的取值范围是[－3,1]。B级能力提升练11．[2015·长春模拟]已知一元二次不等式f(x)＜0的解集为{x|x＜－1，或x＞}，则f(10x)＞0的解集为()A．{x|x＜－1，或x＞－lg2}B．{x|－1＜x＜－lg2}C．{x|x＞－lg2}D．{x|x＜－lg2}解析：依题意知f(x)＞0的解为－1＜x＜，故－1＜10x＜，解得x＜lg＝－lg2。答案：D12．[2015·青岛模拟]已知a为正的常数，若不等式≥1＋－对一切非负实数x恒成立，则a的最大值为________。解析：原不等式即≥1＋－(*)，令＝t，t≥1，则x＝t2－1，所以(*)即≥1＋－t＝...
