开卷速查(三十六)基本不等式A级基础巩固练1．[2014·重庆]若log4(3a＋4b)＝log2，则a＋b的最小值是()A．6＋2B．7＋2C．6＋4D．7＋4解析：因为log4(3a＋4b)＝log2，所以log4(3a＋4b)＝log4(ab)，即3a＋4b＝ab，且即a＞0，b＞0，所以＋＝1(a＞0，b＞0)，a＋b＝(a＋b)＝7＋＋≥7＋2＝7＋4，当且仅当＝时取等号，故选D。答案：D2．若正实数x，y满足x＋y＋＋＝5，则x＋y的最大值是()A．2B．3C．4D．5解析： xy≤，x＞0，y＞0，∴≥，≥，∴x＋y＋≤5.设x＋y＝t，即t＋≤5，得到t2－5t＋4≤0，解得1≤t≤4，∴x＋y的最大值是4。答案：C3．[2016·马鞍山模拟]设x＞0，y＞0，且2x＋y＝6，则9x＋3y有()A．最大值27B．最小值27C．最大值54D．最小值54解析：因为x＞0，y＞0，且2x＋y＝6，所以9x＋3y≥2＝2＝2＝54，当且仅当x＝，y＝3时，9x＋3y有最小值54。答案：D4．若正数a，b满足＋＝1，则＋的最小值为()A．1B．6C．9D．16解析：方法一：因为＋＝1，所以a＋b＝ab⇒(a－1)(b－1)＝1，所以＋≥2＝2×3＝6。方法二：因为＋＝1，所以a＋b＝ab，＋＝＝b＋9a－10＝(b＋9a)－10≥16－10＝6。方法三：因为＋＝1，所以a－1＝，所以＋＝(b－1)＋≥2＝2×3＝6。答案：B5．设a＞0，b＞0，若是3a与32b的等比中项，则＋的最小值为()A．8B．4C．1D.解析：由题意可知3＝3a32b＝3a＋2b，即a＋2b＝1。因为a＞0，b＞0，所以＋＝(a＋2b)＝＋＋4≥2＋4＝8，当且仅当＝，即a＝2b＝时取“＝”。答案：A6．[2016·黄冈模拟]若实数x，y，z满足x2＋y2＋z2＝2，则xy＋yz＋zx的取值范围是()A．[－1,2]B．[1,2]C．[－1,1]D．[－2,2]解析：因为(x－y)2＋(x－z)2＋(y－z)2≥0，所以x2＋y2＋z2≥xy＋xz＋yz，所以xy＋yz＋zx≤2。又(x＋y＋z)2＝x2＋y2＋z2＋2(xy＋yz＋xz)≥0，所以xy＋xz＋yz≥－(x2＋y2＋z2)＝－1。综上可得：－1≤xy＋xz＋yz≤2。故选A。答案：A7．已知正数x，y满足x＋2y＝2，则的最小值为__________。解析：由已知得＝1，则＝＋＝＝≥(10＋2)＝9，当且仅当x＝，y＝时取等号。答案：98．已知x，y为正实数，3x＋2y＝10，＋的最大值为________。解析：由≤得＋≤＝＝2，当且仅当x＝，y＝时取等号。答案：29．[2016·青岛模拟]下列命题中正确的是________(填序号)。①y＝2－3x－(x＞0)的最大值是2－4；②y＝sin2x＋的最小值是4；③y＝2－3x－(x＜0)的最小值是2－4。解析：①正确，因为y＝2－3x－＝2－≤2－2＝2－4。当且仅当3x＝，即x＝时等号成立。②不正确，令sin2x＝t，则0＜t≤1，所以g(t)＝t＋，显然g(t)在(0,1]上单调递减，故g(t)min＝g(1)＝1＋4＝5。③不正确，因为x＜0，所以－x＞0，最小值为2＋4，而不是2－4。答案：①10．已知f(x)＝。(1)若f(x)＞k的解集为{x|x＜－3或x＞－2}，求k的值；(2)若对任意x＞0，f(x)≤t恒成立，求实数t的范围。解析：(1)f(x)＞k⇔kx2－2x＋6k＜0，由已知其解集为{x|x＜－3，或x＞－2}，得x1＝－3，x2＝－2是方程kx2－2x＋6k＝0的两根，所以－2－3＝，即k＝－。(2) x＞0，f(x)＝＝≤，由已知f(x)≤t对任意x＞0恒成立，故实数t的取值范围是。B级能力提升练11．[2016·太原模拟]正数a，b满足＋＝1，若不等式a＋b≥－x2＋4x＋18－m对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是()A．[3，＋∞)B．(－∞，3]C．(－∞，6]D．[6，＋∞)解析：因为a＞0，b＞0，＋＝1，所以a＋b＝(a＋b)＝10＋＋≥10＋2＝16，由题意，得16≥－x2＋4x＋18－m，即x2－4x－2≥－m对任意实数x恒成立，而x2－4x－2＝(x－2)2－6，所以x2－4x－2的最小值为－6，所以－6≥－m，即m≥6。答案：D12．[2016·吉林模拟]已知各项均为正数的等比数列{an}满足a7＝a6＋2a5，若存在两项am，an使得＝4a1，则＋的最小值为()A.B.C.D.解析：由各项均为正数的等比数列{an}满足a7＝a6＋2a5，可得a1q6＝a1q5＋2a1q4，所以q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1(舍去)。因为＝4a1，所以qm＋n－2＝16，所以2m＋n－2＝24，所以m＋n＝6，所以＋＝(m＋n)＝≥(5＋4)＝。当且仅当＝，即m＝2，n＝4时，等号成立，故＋的最小值等于。答案：A13．如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体的沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀...
