开卷速查(四十九)两条直线的位置关系、距离公式A级基础巩固练1．设a、b、c分别是△ABC中∠A、∠B、∠C所对边的边长，则直线xsinA＋ay＋c＝0与bx－ysinB＋sinC＝0的位置关系是()A．平行B．重合C．垂直D．相交但不垂直解析：由＝，得bsinA－asinB＝0。∴两直线垂直。答案：C2．点(1，cosθ)到直线xsinθ＋ycosθ－1＝0的距离是(0°≤θ≤180°)，那么θ＝()A．150°B．30°或150°C．30°D．30°或210°解析：由题意知＝＝|sinθ－sin2θ|，又0≤sinθ≤1，∴sin2θ－sinθ＋＝0，2＝0。∴sinθ＝。又0°≤θ≤180°，∴θ＝30°或150°。答案：B3．已知两条直线l1：(a－1)x＋2y＋1＝0，l2：x＋ay＋3＝0平行，则a＝()A．－1B．2C．0或－2D．－1或2解析：若a＝0，两直线方程分别为－x＋2y＋1＝0和x＝－3，此时两直线相交，不平行，所以a≠0；当a≠0时，两直线若平行，则有＝≠，解得a＝－1或2。答案：D4．已知直线l1的方程为3x＋4y－7＝0，直线l2的方程为6x＋8y＋1＝0，则直线l1与l2的距离为()A.B.C．4D．8解析： 直线l1的方程为3x＋4y－7＝0，直线l2的方程为6x＋8y＋1＝0，即3x＋4y＋＝0，∴直线l1与l2的距离为＝。答案：B5．[2016·石家庄模拟]已知b＞0，直线x－b2y－1＝0与直线(b2＋1)x＋ay＋2＝0互相垂直，则ab的最小值等于()A．1B．2C．2D．2解析：因为直线x－b2y－1＝0与直线(b2＋1)x＋ay＋2＝0互相垂直，所以(b2＋1)－b2a＝0，即a＝，所以ab＝b＝＝b＋≥2(当且仅当b＝1时取等号)，即ab的最小值等于2。答案：B6．[2016·兰州模拟]一只虫子从点(0,0)出发，先爬行到直线l：x－y＋1＝0上的P点，再从P点出发爬行到点A(1,1)，则虫子爬行的最短路程是()A.B．2C．3D．4解析：点(0,0)关于直线l：x－y＋1＝0的对称点为(－1,1)，则最短路程为＝2。答案：B7．[2016·淄博模拟]点P为x轴上的一点，A(1,1)，B(3,4)，则|PA|＋|PB|的最小值是________。解析：点A(1,1)关于x轴的对称点A′(1，－1)，则|PA|＋|PB|的最小值是线段A′B的长。答案：8．已知A(3,1)、B(－1,2)，若∠ACB的平分线在y＝x＋1上，则AC所在直线方程是__________。解析：方法一：设点A关于直线y＝x＋1对称的点A′(x0，y0)，则解得即A′(0,4)。∴直线A′B的方程为2x－y＋4＝0。由得即C(－3，－2)。∴直线AC的方程为x－2y－1＝0。方法二：设点B关于直线y＝x＋1的对称点B′(x0，y0)，则，得，即B′(1,0)故AC方程为(3－1)(y－0)＝(1－0)(x－1)，即x－2y－1＝0。答案：x－2y－1＝09．函数y＝a2x－2(a＞0，a≠1)的图象恒过点A，若直线l：mx＋ny－1＝0经过点A，则坐标原点O到直线l的距离的最大值为__________。解析：方法一：由指数函数的性质可得：函数y＝a2x－2(a＞0，a≠1)的图象恒过点A(1,1)，而A∈l，∴m＋n－1＝0，即m＋n＝1。由基本不等式可得m2＋n2≥(m＋n)2＝。O到直线l的距离d＝≤＝，故O到直线l的距离的最大值为。方法二： 直线l：mx＋ny－1＝0经过点A(1,1)，∴坐标原点O到直线l的距离的最大值为|OA|＝。答案：10．已知直线l1：x＋a2y＋1＝0和直线l2：(a2＋1)x－by＋3＝0(a，b∈R)。(1)若l1∥l2，求b的取值范围；(2)若l1⊥l2，求|ab|的最小值。解析：(1)因为l1∥l2，所以－b－(a2＋1)a2＝0，即b＝－a2(a2＋1)＝－a4－a2＝－2＋，因为a2≥0，所以b≤0。又因为a2＋1≠3，所以b≠－6。故b的取值范围是(－∞，－6)∪(－6,0]。(2)因为l1⊥l2，所以(a2＋1)－a2b＝0，显然a≠0，所以ab＝a＋，|ab|＝|a＋|≥2，当且仅当a＝±1时等号成立，因此|ab|的最小值为2。B级能力提升练11．[2016·太原模拟]设A，B是x轴上的两点，点P的横坐标为3，且|PA|＝|PB|，若直线PA的方程为x－y＋1＝0，则直线PB的方程是()A．x＋y－5＝0B．2x－y－1＝0C．x－2y＋4＝0D．x＋y－7＝0解析：由|PA|＝|PB|知点P在AB的垂直平分线上。由点P的横坐标为3，且PA的方程为x－y＋1＝0，得P(3,4)。直线PA，PB关于直线x＝3对称，直线PA上的点(0,1)关于直线x＝3的对称点(6,1)在直线PB上，所以直线PB的方程为x＋y－7＝0。答案：D12．[2016·杭州模拟]已知A(－2,0)，B(2,0)，C(0,2)，E(－1,0)，F(1,0)，一束光线从F点出发射到BC上的D点经BC反射后，再经AC反射，落在线段A...
