高三数学一轮总复习 第三章 三角函数、解三角形 3.7 解三角形应用举例开卷速查-人教版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

开卷速查(二十三)解三角形应用举例A级基础巩固练1．一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是()A．10海里B．10海里C．20海里D．20海里解析：如图所示，易知，在△ABC中，AB＝20海里，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，根据正弦定理得＝，解得BC＝10(海里)，故选A。答案：A2．在某个位置测得某山峰仰角为α，对着山峰在水平地面上前进900m后测得仰角为2α，继续在水平地面上前进300m后，测得山峰的仰角为4α，则该山峰的高度为()A．300mB．450mC．300mD．600m解析：如图所示，易知，在△ADE中，∠DAE＝2α，∠ADE＝180°－4α，AD＝300m，由正弦定理，得＝，解得cos2α＝，则sin2α＝，sin4α＝，所以在Rt△ABC中山峰的高度h＝300sin4α＝300×＝450(m)。答案：B3．要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度，在黄浦江西岸选择甲、乙两观测点，在甲、乙两点测得塔顶的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120°，甲、乙两地相距500m，则电视塔的高度是()A．100mB．400mC．200mD．500m解析：由题意画出示意图，设塔高AB＝hm，在Rt△ABC中，由已知得BC＝hm，在Rt△ABD中，由已知得BD＝hm，在△BCD中，由余弦定理BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcos∠BCD，得3h2＝h2＋5002＋h·500，解得h＝500(m)。答案：D4．如图所示，长为3.5m的木棒AB斜靠在石堤旁，木棒的一端A在离堤足C处1.4m的地面上，另一端B在离堤足C处2.8m的石堤上，石堤的倾斜角为α，则坡度值tanα等于()A.B.C.D.解析：由题意，可得在△ABC中，AB＝3.5m，AC＝1.4m，BC＝2.8m，且α＋∠ACB＝π。由余弦定理，可得AB2＝AC2＋BC2－2×AC×BC×cos∠ACB，即3.52＝1.42＋2.82－2×1.4×2.8×cos(π－α)，解得cosα＝，所以sinα＝，所以tanα＝＝。答案：A5．[2016·成都模拟]如图所示，为测一建筑物的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得建筑物顶端的仰角为30°，45°，且A，B两点间的距离为60m，则该建筑物的高度为()A．(30＋30)mB．(30＋15)mC．(15＋30)mD．(15＋15)m解析：在△PAB中，∠PAB＝30°，∠APB＝15°，AB＝60，sin15°＝sin(45°－30°)＝sin45°cos30°－cos45°sin30°＝×－×＝，由正弦定理，得＝，所以PB＝＝30(＋)。所以建筑物的高度为PBsin45°＝30(＋)×＝(30＋30)m。答案：A6．如图，两座相距60m的建筑物AB，CD的高度分别为20m，50m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为()A．30°B．45°C．60°D．75°解析：依题意可得AD＝20m，AC＝30m，又CD＝50m，所以在△ACD中，由余弦定理，得cos∠CAD＝＝＝＝，又0°＜∠CAD＜180°，所以∠CAD＝45°，所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°。答案：B7．在相距2千米的A，B两点处测量目标点C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A，C两点之间的距离为______千米。解析：由已知条件∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，得∠ACB＝45°。结合正弦定理，得＝，即＝，解得AC＝(千米)。答案：8．如图，一艘船上午9：30在A处测得灯塔S在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°处，且与它相距8nmile。此船的航速是__________nmile/h。解析：设航速为vnmile/h，在△ABS中，AB＝v，BS＝8nmile，∠BSA＝45°，由正弦定理，得＝，∴v＝32nmile/h。答案：329．某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为45°，沿倾斜角为30°的斜坡前进1000m后到达D处，又测得山顶的仰角为60°，则山的高度BC为__________m。解析：过点D作DE∥AC交BC于E，因为∠DAC＝30°，故∠ADE＝150°。于是∠ADB＝360°－150°－60°＝150°。又∠BAD＝45°－30°＝15°，故∠ABD＝15°，由正弦定理得AB＝＝＝500(＋)(m)所以在Rt△ABC中，BC＝ABsin45°＝500(＋1)(m)。答案：500(＋1)10．已知岛A南偏西38°方向，距岛A3海里的B处有一艘缉私艇。岛A处的一艘走私船正以10海里/时的速度向岛北偏西22°方向行驶，问缉私艇朝何方向以多大...