开卷速查(二十一)简单的三角恒等变换A级基础巩固练1．计算sin20°cos70°－cos160°sin70°＝()A．0B．－sin50°C．1D．－1解析：原式＝sin20°cos70°－cos(180°－20°)sin70°＝sin20°cos70°＋cos20°sin70°＝sin(20°＋70°)＝sin90°＝1。答案：C2．已知cos＝，α∈(0,2π)，则sin＝()A.B．－C.D．－解析：角是的2倍，所以sin2＝＝＝。因为α∈(0,2π)，所以∈，所以sin＝＝。答案：A3．[2016·长沙模拟]函数f(x)＝sinx－cos的值域为()A．[－2,2]B．[－，]C．[－1,1]D.解析：f(x)＝sinx－cosx＋sinx＝＝sin。x∈R，所以x－∈R，所以f(x)∈[－，]，故选B。答案：B4．[2016·成都模拟]已知锐角α满足cos2α＝cos，则sin2α等于()A.B．－C.D．－解析：由cos2α＝cos，得(cosα－sinα)(cosα＋sinα)＝(cosα＋sinα)，由α为锐角知cosα＋sinα≠0。所以cosα－sinα＝，平方得1－sin2α＝。所以sin2α＝。答案：A5．[2016·临沂模拟]已知函数f(x)＝sinx＋2cos2，设a＝f，b＝f，c＝f，则a，b，c的大小关系是()A．a＜b＜cB．c＜a＜bC．b＜a＜cD．b＜c＜a解析：f(x)＝sinx＋2·＝sinx＋cosx＋＝2sin＋，因为函数f(x)在上单调递增，所以f＜f，而c＝f＝2sin＋＝2sin＋＝f(0)＜f，所以c＜a＜b。答案：B6．[2014·课标全国Ⅰ]设α∈，β∈，且tanα＝，则()A．3α－β＝B．2α－β＝C．3α＋β＝D．2α＋β＝解析：由条件得＝，即sinαcosβ＝cosα(1＋sinβ)，sin(α－β)＝cosα＝sin，因为－＜α－β＜，0＜－α＜，所以α－β＝－α，所以2α－β＝，故选B。答案：B7．[2016·兰州模拟]计算：＝________。解析：原式＝＝＝＝1。答案：18．[2016·汉中模拟]设θ为第二象限角，若tan＝，则sinθ＋cosθ＝________。解析：因为tan＝，所以tanθ＝tan＝＝＝－，即sinθ＝－cosθ，又因为sin2θ＋cos2θ＝1，所以cos2θ＋cos2θ＝1，cos2θ＝，因为θ为第二象限角，所以cosθ＝，sinθ＝－cosθ＝，sinθ＋cosθ＝－＋＝－。答案：－9．已知cos4α－sin4α＝，且α∈，则cos＝__________。解析：∵cos4α－sin4α＝(sin2α＋cos2α)(cos2α－sin2α)＝，∴cos2α＝。又α∈，∴2α∈(0，π)，∴sin2α＝＝。∴cos＝cos2α－sin2α＝×－×＝。答案：10．[2014·江苏]已知α∈，sinα＝。(1)求sin的值；(2)求cos的值。解析：(1)因为α∈，sinα＝，所以cosα＝－＝－。故sin＝sincosα＋cossinα＝×＋×＝－。(2)由(1)知sin2α＝2sinαcosα＝2××＝－，cos2α＝1－2sin2α＝1－2×2＝，所以cos＝coscos2α＋sinsin2α＝×＋×＝－。B级能力提升练11．[2016·铜陵模拟]已知α为第二象限角，sinα＋cosα＝，则cos2α＝()A．－B．－C.D.解析：∵sinα＋cosα＝，∴(sinα＋cosα)2＝，∴2sinαcosα＝－，即sin2α＝－。又∵α为第二象限角且sinα＋cosα＝>0，∴2kπ＋<α<2kπ＋π(k∈Z)。∴4kπ＋π<2α<4kπ＋π(k∈Z)。∴2α为第三象限角。∴cos2α＝－＝－。答案：A12．[2016·西安模拟]设当x＝θ时，函数f(x)＝sinx－2cosx取得最大值，则cosθ＝________。解析：f(x)＝sinx－2cosx＝sin(x＋φ)，其中tanφ＝－2，当x＋φ＝2kπ＋时，函数f(x)取得最大值，即θ＝2kπ＋－φ。所以cosθ＝cos＝sinφ，又因为tanφ＝－2，φ在第四象限，所以sinφ＝－，即cosθ＝－。答案：－13．已知函数f(x)＝sin。(1)求f(x)的单调递增区间；(2)若α是第二象限角，f＝coscos2α，求cosα－sinα的值。解析：(1)因为函数y＝sinx的单调递增区间为，k∈Z。由－＋2kπ≤3x＋≤＋2kπ，k∈Z，得－＋≤x≤＋，k∈Z。所以，函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z。(2)由已知，有sin＝cos(cos2α－sin2α)，所以，sinαcos＋cosαsin＝(cos2α－sin2α)，即sinα＋cosα＝(cosα－sinα)2(sinα＋cosα)。当sinα＋cosα＝0时，由α是第二象限角，知α＝＋2kπ，k∈Z。此时，cosα－sinα＝－。当sinα＋cosα≠0时，有(cosα－sinα)2＝。由α是第二象限角，知cosα－sinα＜0，此时cosα－sinα＝－。综上所述，cosα－sinα＝－或－。14．[2016·保定模拟]已知函数f(x)＝sincos＋cos2－1。(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递减区间；(2)求函数f(x)在上的最小值。解析：(1)f(x)＝sincos＋－1＝sinx＋cosx－＝sin－。所以函数f(x)的最小正周期为2π。由2kπ＋≤x＋≤2kπ＋，k∈Z，得2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z。则函数f(x)的单调递减区间是，k∈Z。(2)由≤x≤，得≤x＋≤。则当x＋＝，即x＝时，f(x)取得最小值为－。
