第三节二项式定理A组基础题组1.(2014四川,2,5分)在x(1+x)6的展开式中,含x3项的系数为()A.30B.20C.15D.102.二项式的展开式中只有第6项的二项式系数最大,则展开式中常数项是()A.180B.90C.45D.3603.在的展开式中,如果x3的系数为20,那么ab3=()A.20B.15C.10D.54.若(1+mx)6=a0+a1x+a2x2+…+a6x6,且a1+a2+…+a6=63,则实数m的值为()A.1或3B.-3C.1D.1或-35.(2015湖北,3,5分)已知(1+x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数和为()A.212B.211C.210D.296.(2016北京昌平期末)在的展开式中,常数项是.(用数字作答)7.已知的展开式的各项系数和为32,则展开式中x4的系数为.8.(1+)6的展开式中的常数项为.9.已知(a2+1)n的展开式中的各项系数之和等于的展开式的常数项,而(a2+1)n的展开式中系数最大的项等于54,求a的值.10.已知函数f(x)=(1+x)+(1+x)2+(1+x)3+…+(1+x)n(n≥3).(1)求展开式中x2的系数;(2)求展开式中各项的系数之和.B组提升题组11.若(2x-3)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,则a1+2a2+3a3+4a4+5a5=()A.32B.-1C.10D.112.(2016福建厦门海沧实验中学等联考)在的展开式中,含x2的项的系数为()A.10B.30C.45D.12013.若将函数f(x)=x5表示为f(x)=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+…+a5(1+x)5,其中a0,a1,a2,…,a5为实数,则a3=.14.(2016河北保定期末)若a=cosxdx,则的展开式中常数项为.15.在(2x-3y)10的展开式中,求:(1)二项式系数的和;(2)各项系数的和;(3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和;(4)奇数项系数和与偶数项系数和.16.(2016吉林长春检测)已知二项式.(1)若展开式中第5项,第6项与第7项的二项式系数成等差数列,求展开式中二项式系数最大的项的系数;(2)若展开式前三项的二项式系数和等于79,求展开式中系数最大的项.答案全解全析A组基础题组1.C在(1+x)6的展开式中,含x2的项为T3=·x2=15x2,故在x(1+x)6的展开式中,含x3的项的系数为15.2.A由二项展开式中系数的性质,得n=10,∴Tr+1=·()10-r=2r·,令5-r=0,则r=2,从而展开式的常数项是T3=4=180.3.D展开式的通项为Tr+1=a4-rbrx24-7r,令24-7r=3,得r=3,则ab3=20,∴ab3=5.4.D令x=0,得a0=(1+0)6=1.令x=1,得(1+m)6=a0+a1+a2+…+a6.又a1+a2+a3+…+a6=63,∴(1+m)6=64=26,∴1+m=±2,∴m=1或m=-3.5.D∵(1+x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数分别为,,∴=,得n=10.∵++++…+=210,又++…+=++…+,∴奇数项的二项式系数和为++…+=29.6.答案60解析展开式的通项为Tr+1=(2x2)6-r·=(-1)r·26-r··x12-3r,令12-3r=0,得r=4,∴常数项是T5=22×=60.7.答案10解析令x=1,得2n=32,所以n=5,则展开式的通项为Tr+1=(x2)5-r=x10-3r,令10-3r=4,得r=2,所以展开式中x4的系数为=10.8.答案4246解析分别求两个因式的通项:Tr+1=,Tr'+1=,由·=,令-=0,又0≤r≤6,0≤r'≤10,且r、r'为整数,解得r=r'=0,或r=3且r'=4,或r=6且r'=8.∴常数项为1++=4246.9.解析的展开式的通项为Tr+1==··,令=0,得r=4,所以常数项为T5=×=16.又(a2+1)n的展开式中的各项系数之和等于2n,所以2n=16,n=4,所以(a2+1)4的展开式中系数最大的项是T3=a4=54,所以a=±.10.解析(1)展开式中x2的系数为+++…+=+++…+=++…+=++…+=…===.(2)展开式中各项的系数之和为f(1)=2+22+23+…+2n==2n+1-2.B组提升题组11.C原等式两边求导得10(2x-3)4=a1+2a2x+3a3x2+4a4x3+5a5x4,令x=1,得a1+2a2+3a3+4a4+5a5=10.故选C.12.C因为==(1+x)10+(1+x)9+…+,所以x2项只能在(1+x)10的展开式中出现,所以含x2的项为x2,系数为=45.故选C.13.答案10解析由于f(x)=x5=[(1+x)-1]5,所以a3=(-1)2=10.14.答案解析∵a=cosxdx=2cosxdx=2sinx=2sin=2,∴==,通项公式为Tr+1=·()r.当r=0,2,4时才会有常数项,故展开式的常数项为+····()2+()4=+12+4=.15.解析(1)二项式系数的和为++…+=210.(2)令x=y=1,则各项系数和为(2-3)10=(-1)10=1.(3)奇数项的二项式系数和为++…+=29,偶数项的二项式系数和为++…+=29.(4)设(2x-3y)10=a0x10+a1x9y+a2x8y2+…+a10y10,令x=y=1,得a0+a1+a2+…+a10=1,①令x=1,y=-1(或x=-1,y=1),得a0-a1+a2-a3+…+a10=510,②①+②得2(a0+a2+…+a10)=1+510,∴奇数项系数和为;①-②得2(a1+a3+…+a9)=1-510,∴偶数项系数和为.16.解析(1)由题意知+=2,∴n2-21n+98=0,∴n=7或n=14.当n=7时,展开式中二项式系数最大的项是T4和T5,T4的系数为23=,T5的系数为24=70.当n=14时,展开式中二项式系数最大的项是T8,T8的系数为27=3432.(2)由题意知++=79,∴n2+n-156=0.∴n=12或n=-13(舍去).设Tk+1项的系数最大,∵=(1+4x)12,∴∴9.4≤k≤10.4,又k为整数,∴k=10.∴展开式中系数最大的项为T11,T11=··210·x10=16896x10.
