第三节平面向量的数量积与平面向量应用举例A组基础题组1.已知=(2,1),点C(-1,0),D(4,5),则向量在方向上的投影为()A.-B.-3C.D.32.(2017山东临沂期中)已知向量a=(1,m),b=(0,-2),且(a+b)⊥b,则m等于()A.-2B.-1C.1D.23.(2017安徽师大附中模拟)在直角三角形ABC中,角C为直角,且AC=BC=2,点P是斜边上的一个三等分点,则·+·=()A.0B.4C.D.-4.设向量a,b满足|a|=1,|a-b|=,a·(a-b)=0,则|2a+b|=()A.2B.2C.4D.45.(2016湖北八校联考(二))已知向量a=(3,1),b=(1,3),c=(k,-2),若(a-c)∥b,则向量a与向量c的夹角的余弦值是()A.B.C.-D.-6.设向量a=(m,1),b=(1,2),若|a+b|2=|a|2+|b|2,则m=.7.已知a=(λ,2λ),b=(3λ,2),如果a与b的夹角为锐角,则λ的取值范围是.8.如图,平行四边形ABCD中,AB=2,AD=1,∠A=60°,点M在AB边上,且AM=AB,则·等于.9.已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)·(2a+b)=61.(1)求a与b的夹角θ;(2)求|a+b|和|a-b|.10.在平面直角坐标系xOy中,已知向量m=,n=(sinx,cosx),x∈.(1)若m⊥n,求tanx的值;(2)若m与n的夹角为,求x的值.B组提升题组11.已知非零向量m,n满足4|m|=3|n|,cos
=.若n⊥(tm+n),则实数t的值为()A.4B.-4C.D.-12.已知△ABC为等边三角形,AB=2,设点P,Q满足=λ,=(1-λ),λ∈R,若·=-,则λ=()A.B.C.D.13.若两个非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|=2|a|,则向量a+b与a-b的夹角为()A.B.C.D.14.如图,菱形ABCD的边长为2,∠BAD=60°,M为DC的中点,若N为菱形内任意一点(含边界),则·的最大值为.15.已知在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,向量m=(sinA,sinB),n=(cosB,cosA),m·n=sin2C.(1)求角C的大小;(2)若sinA,sinC,sinB成等差数列,且·(-)=18,求c.16.已知向量a=,b=,实数k为大于零的常数,函数f(x)=a·b,x∈R,且函数f(x)的最大值为.(1)求k的值;(2)在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C所对的边,若===.2.D∵a=(1,m),b=(0,-2),∴a+b=(1,m-2),又(a+b)⊥b,∴0×1-2(m-2)=0,即m=2.3.B由题意不妨取=,则·+·=·(+)=(+)·(+)=·(+)=·(+)=++·=×4+×4+0=4.故选B.4.B由a·(a-b)=0,可得a·b=a2=1,由|a-b|=,可得(a-b)2=3,即a2-2a·b+b2=3,解得b2=4.故(2a+b)2=4a2+4a·b+b2=12,所以|2a+b|=2.5.A由已知得a-c=(3-k,3),∵(a-c)∥b,∴3(3-k)-3=0,∴k=2,即c=(2,-2),∴cos===.6.答案-2解析由|a+b|2=|a|2+|b|2得a·b=0,所以a⊥b,则m+2=0,所以m=-2.7.答案∪0,∪解析a与b的夹角为锐角,则a·b>0且a与b不共线,则解得λ<-或0<λ<或λ>,所以λ的取值范围是∪∪.8.答案1解析因为=+=+,=+,所以·=·(+)=||2+||2+·=1+-·=-||·||·cos60°=-×1×2×=1.9.解析(1)由(2a-3b)·(2a+b)=4|a|2-4a·b-3|b|2=61及|a|=4,|b|=3得a·b=-6,∴cosθ===-.又θ∈[0,π],∴θ=.(2)|a+b|====.同理,|a-b|==.10.解析(1)∵m⊥n,∴m·n=0,故sinx-cosx=0,∴tanx=1.(2)∵m与n的夹角为,∴cos===,故sin=.又x∈,∴x-∈,则x-=,即x=,故x的值为.B组提升题组11.B因为n⊥(tm+n),所以tm·n+n2=0,所以m·n=-,又4|m|=3|n|,所以cos===-=,所以t=-4.故选B.12.A解法一:=-=(1-λ)-,=-=λ-.∵||=||=2,<,>=60°,∴·=||·||·cos60°=2,又·=-,∴[(1-λ)-]·(λ-)=-,即λ||2+(λ2-λ-1)·+(1-λ)·||2=,所以4λ+2(λ2-λ-1)+4(1-λ)=,解得λ=.解法二:以点A为坐标原点,AB所在的直线为x轴,过点A且垂直于AB的直线为y轴,建立平面直角坐标系,则A(0,0),B(2,0),C(1,),∴=(2,0),=(1,),∴P(2λ,0),Q(1-λ,(1-λ)),∵·=-,∴(-1-λ,(1-λ))·(2λ-1,-)=-,化简得4λ2-4λ+1=0,∴λ=.13.D由|a+b|=|a-b|可知a⊥b,设=b,=a,如图,作矩形ABCD,连接AC,BD,可知=a+b,=a-b,设AC与BD的交点为O,结合题意可知OA=OD=AD,∴∠AOD=,∴∠DOC=,又向量a+b与a-b的夹角为与的夹角,故所求夹角为,选D.14.答案9解析由平面向量的数量积的几何意义知,·等于与在方向上的投影之积,所以(·)max=·=·(+)=++·=9.15.解析(1)m·n=sinA·cosB+sinB·cosA=sin(A+B),在△ABC中,A+B=π-C,0
