第四节基本不等式及其应用A组基础题组1.(2016安徽合肥第一次质检)“x≥1”是“x+≥2”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.当x>0时,f(x)=的最大值为()A.B.1C.2D.43.已知x,y>0且x+4y=1,则+的最小值为()A.8B.9C.10D.114.设a>0,若关于x的不等式x+≥5在(1,+∞)上恒成立,则a的最小值为()A.16B.9C.4D.25.已知x,y∈R+,且满足x+2y=2xy,那么x+4y的最小值为()A.3-B.3+2C.3+D.46.已知函数f(x)=4x+(x>0,a>0)在x=3时取得最小值,则a=.7.已知实数x,y均大于零,且x+2y=4,则log2x+log2y的最大值为.8.已知实数x,y满足x2+y2-xy=1,则x+y的最大值为.9.(1)当x<时,求函数y=x+的最大值;(2)设00,y>0,且2x+8y-xy=0,求:(1)xy的最小值;(2)x+y的最小值.B组提升题组11.已知正数a,b满足a+b=ab,a+b+c=abc,则c的取值范围是()A.B.C.D.12.设正实数x,y,z满足x2-3xy+4y2-z=0,则当取得最大值时,+-的最大值为()A.0B.1C.D.313.已知集合A={x|x2-2x-3>0},B={x|ax2+bx+c≤0},若A∩B={x|30,⇔所以“x≥1”是“x+≥2”的充分不必要条件,故选A.2.B∵x>0,∴f(x)==≤=1,当且仅当x=,即x=1时取等号.3.B∵x+4y=1(x,y>0),∴+=+=5+≥5+2=5+4=9当且仅当x=2y=时,取等号.4.C在(1,+∞)上,x+=(x-1)++1≥2+1=2+1(当且仅当x=1+时取等),由题意知2+1≥5.所以2≥4,≥2,a≥4.5.B由x>0,y>0,x+2y=2xy,得+=1,则x+4y=(x+4y)·=+1+2+≥3+2=3+2,当且仅当=时等号成立.6.答案36解析∵x>0,a>0,∴f(x)=4x+≥2=4,当且仅当4x=时等号成立,此时a=4x2,由x=3时函数取得最小值,得a=4×9=36.故填36.7.答案1解析因为log2x+log2y=log2(2xy)-1≤log2-1=2-1=1,当且仅当x=2y=2,即x=2,y=1时等号成立,所以log2x+log2y的最大值为1.8.答案2解析因为x2+y2-xy=1,所以(x+y)2=1+3xy≤1+3×,当且仅当x=y时取等号,所以(x+y)2≤4,则-2≤x+y≤2,所以x+y的最大值为2.9.解析(1)y=(2x-3)++=-+.当x<时,3-2x>0,此时+≥2=4,当且仅当=,即x=-时取等号.于是y≤-4+=-,故函数的最大值为-.(2)∵00,∴y==·≤·=,当且仅当x=2-x,即x=1时取等号,∴函数y=的最大值为.10.解析(1)由2x+8y-xy=0,得+=1,又因为x>0,y>0,所以1=+≥2=,所以xy≥64,当且仅当x=16,y=4时,等号成立,所以xy的最小值为64.(2)由2x+8y-xy=0,得+=1,则x+y=·(x+y)=10++≥10+2=18,当且仅当x=12,y=6时,等号成立,所以x+y的最小值为18.B组提升题组11.D∵正数a,b满足a+b=ab,∴ab≥2(⇒)2-2≥0⇒≥2ab≥4,⇒当且仅当a=b=2时取等号,由a+b=ab,a+b+c=abc,得c===1+,∵ab≥4,∴ab-1≥3,∴0<≤,∴1<1+≤,故选D.12.B由x2-3xy+4y2-z=0,得z=x2-3xy+4y2,又x,y,z为正实数,∴==≤=1.当且仅当x=2y时取等号,此时z=2y2.∴+-=+-=-+=-+1,当=1,即y=1时,上式有最大值1,故选B.13.答案解析因为x2-2x-3>0,所以x<-1或x>3,因为A∩B={x|30,所以-1+4=-,(-1)×4=,所以b=-3a,c=-4a,所以+≥2===,当且仅当=时取等号.14.解析当x∈[1,2]时,f(x)=x2+=x2++≥3=3,当且仅当x2=,即x=1时取等号,所以f(x)min=3.因为g(x)=-m在[-1,1]上单调递减,所以当x∈[-1,1]时,g(x)min=g(1)=-m.因为∀x1∈[1,2],x∃2∈[-1,1],使得f(x1)≥g(x2),所以3≥-m,解得m≥-.15.解析(1)设污水处理池的宽为x米,则长为米.总造价f(x)=400×+248×2x+80×162=1296x++12960=1296×+12960≥1296×2+12960=38880,当且仅当x=(x>0),即x=10时取等号.∴当污水处理池的长为16.2米,宽为10米时总造价最低,最低总造价为38880元.(2)由限制条件知∴≤x≤16.设g(x)=x+,则g'(x)=1-,因为g'(x)=1-在上恒大于零,故g(x)在上是增函数,所以当x=时,g(x)取最小值,即f(x)取最小值,为1296×+12960=38882.所以当污水处理池的长为16米,宽为米时总造价最低,最低总造价为38882元.
