第二节不等式的证明A组基础题组1
已知a>b>c,且a+b+c=0,求证:0,b>0,且a+b=1
(1)求ab的最大值;(2)求证:≥
B组提升题组5
(1)已知a,b都是正数,且a≠b,求证:a3+b3>a2b+ab2;(2)已知a,b,c都是正数,求证:≥abc
在△ABC中,内角A,B,C所对的边的长分别为a,b,c,证明:(1)+++abc≥2;(2)++≥9
已知a是常数,对任意实数x,不等式|x+1|-|2-x|≤a≤|x+1|+|2-x|都成立
(1)求a的值;(2)设m>n>0,求证:2m+≥2n+a
答案全解全析A组基础题组1
∵a>b>c,∴a-b>0,a-c>0
∴(a-b)(a-c)>0显然成立,故原不等式成立
证明(1)由a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca,得a2+b2+c2≥ab+bc+ca
由题设得(a+b+c)2=1,即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1
所以3(ab+bc+ca)≤1,即ab+bc+ca≤
(2)因为+b≥2a,+c≥2b,+a≥2c,故+++(a+b+c)≥2(a+b+c),即++≥a+b+c
所以++≥1
解析(1)当x≤-1时,原不等式可化为-x-1|a+b|,即证|ab+1|2>|a+b|2,即证a2b2+2ab+1>a2+2ab+b2,即证a2b2-a2-b2+1>0,即证(a2-1)(b2-1)>0
因为a,b∈M,所以a2>1,b2>1,所以(a2-1)(b2-1)>0成立,所以原不等式成立
解析(1)∵a>0,b>0,且a+b=1,∴≤=,∴ab≤当且仅当a=b=时,等号成立,即ab的最大值为
(2)证明:证法一:(分析法)欲证原式,需证4(ab)2+4(a2+b2)-25ab+4≥0,即证4(ab)2-33ab+8≥0,即证ab≤或ab≥8
