第二节不等式的证明A组基础题组1.如果x>0,比较(-1)2与(+1)2的大小.2.已知a,b,c都是正数,求证:≥abc.3.已知x,y都是正数,求证:x3+y3≥x2y+xy2.4.已知△ABC的三边长分别是a,b,c,且m为正数,求证:+>.15.设n是正整数,求证:≤++…+<1.6.设a,b,c均为正数,且a+b+c=1,证明:(1)ab+bc+ca≤;(2)++≥1.B组提升题组7.(2016江西赣州一模)设a、b为正实数,且+=2.2(1)求a2+b2的最小值;(2)若(a-b)2≥4(ab)3,求ab的值.8.(2016江西质量检测)已知函数f(x)=|x-1|.(1)解不等式f(2x)+f(x+4)≥8;(2)若|a|<1,|b|<1,a≠0,求证:>f.3答案全解全析A组基础题组1.解析(-1)2-(+1)2=(-1++1)[(-1)-(+1)]=-4.因为>0,所以-4<0,所以(-1)2<(+1)2.2.证明因为b2+c2≥2bc,a2>0,所以a2(b2+c2)≥2a2bc.①同理,b2(a2+c2)≥2ab2c,②c2(a2+b2)≥2abc2.③①②③相加得2(a2b2+b2c2+c2a2)≥2a2bc+2ab2c+2abc2,从而a2b2+b2c2+c2a2≥abc(a+b+c).由a,b,c都是正数,得a+b+c>0,因此≥abc.3.证明(x3+y3)-(x2y+xy2)=x2(x-y)+y2(y-x)=(x-y)(x2-y2)=(x-y)2(x+y),∵x,y都是正数,∴(x-y)2≥0,(x+y)>0,即(x3+y3)-(x2y+xy2)≥0,∴x3+y3≥x2y+xy2.4.证明要证+>,只需证a(b+m)(c+m)+b(a+m)(c+m)-c(a+m)(b+m)>0,即证abc+abm+acm+am2+abc+abm+bcm+bm2-abc-acm-bcm-cm2>0,即证abc+2abm+(a+b-c)m2>0.由于a,b,c分别是△ABC的三边长,故有abc>0,ab>0,a+b>c.因为m>0,所以(a+b-c)m2>0,2abm>0,所以abc+2abm+(a+b-c)m2>0成立,4因此+>成立.5.证明由2n≥n+k>n(k=1,2,…,n),得≤<.当k=1时,≤<;当k=2时,≤<;……当k=n时,≤<,所以=≤++…+<=1.6.证明(1)由a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca得a2+b2+c2≥ab+bc+ca.由题设得(a+b+c)2=1,即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1,所以3(ab+bc+ca)≤1,即ab+bc+ca≤.(2)因为+b≥2a,+c≥2b,+a≥2c,故+++(a+b+c)≥2(a+b+c),即++≥a+b+c.所以++≥1.B组提升题组57.解析(1)由2=+≥2得ab≥,当a=b=时取等号.故a2+b2≥2ab≥1,当a=b=时取等号.所以a2+b2的最小值是1.(2)由(a-b)2≥4(ab)3得≥4ab.即-≥4ab,从而ab+≤2.又ab+≥2,所以ab+=2,又a,b为正实数,所以ab=1.8.解析(1)f(2x)+f(x+4)=|2x-1|+|x+3|=当x<-3时,由-3x-2≥8,解得x≤-;当-3≤x<时,-x+4≥8无解;当x≥时,由3x+2≥8,解得x≥2.所以不等式f(2x)+f(x+4)≥8的解集为.(2)证明:>f等价于f(ab)>|a|f,6即|ab-1|>|a-b|.因为|a|<1,|b|<1,所以|ab-1|2-|a-b|2=(a2b2-2ab+1)-(a2-2ab+b2)=(a2-1)(b2-1)>0,所以|ab-1|>|a-b|.故>f.7
