第十一章第九节离散型随机变量的均值与方差、正态分布题组一离散型随机变量的均值问题1.已知随机变量ξ的分布列为ξ-2-10123Pmn其中m,n∈[0,1),且E(ξ)=,则m,n的值分别为________.解析:由p1+p2+…+p6=1,得m+n=,由E(ξ)=,得-m=,∴m=,n=.答案:,2.有10件产品,其中3件是次品,从中任取两件,若X表示取到次品的个数,则E(X)等于________.解析:X=0时,P=;X=1时,P=;X=2时,P=,∴E(X)=0×+1×+2×==.答案:3.(2009·重庆高考)为拉动经济增长,某市决定新建一批重点工程,分为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类.这三类工程所含项目的个数分别占总数的,,.现有3名工人独立地从中任选一个项目参与建设.(1)求他们选择的项目所属类别互不相同的概率;(2)记ξ为3人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数,求ξ的分布列及数学期望.解:记第i名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件Ai,Bi,Ci,i=1,2,3.由题意知A1,A2,A3相互独立,B1,B2,B3相互独立,C1,C2,C3相互独立,Ai,Bj,Ck(i,j,k=1,2,3,且i,j,k互不相同)相互独立,且P(Ai)=,P(Bi)=,P(Ci)=.(1)他们选择的项目所属类别互不相同的概率P=3!P(A1B2C3)=6P(A1)P(B2)P(C3)=6×××=.(2)法一:设3名工人中选择的项目属于民生工程的人数为η,由已知,η~B(3,),且ξ=3-η,所以P(ξ=0)=P(η=3)=()3=,1P(ξ=1)=P(η=2)=()2()=,P(ξ=2)=P(η=1)=()()2=,P(ξ=3)=P(η=0)=()3=.故ξ的分布列为:ξ0123Pξ的数学期望E(ξ)=0×+1×+2×+3×=2.法二:记第i名工人选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程分别为事件Di,i=1,2,3.由已知,D1,D2,D3相互独立,且P(Di)=P(Ai+Ci)=P(Ai)+P(Ci)=+=,所以ξ~B(3,),即P(ξ=k)=()k()3-k,k=0,1,2,3.故ξ的分布列是:ξ0123Pξ的数学期望E(ξ)=3×=2.题组二离散型随机变量的方差问题4.(2010·长沙模拟)设ξ是服从二项分布B(n,p)的随机变量,又E(ξ)=15,D(ξ)=,则n与p的值为()A.60,B.60,C.50,D.50,解析:由ξ~B(n,p),有E(ξ)=np=15,D(ξ)=np(1-p)=,∴p=,n=60.答案:B5.已知随机变量ξ的分布列为ξ123P0.5xy若E(ξ)=,则D(ξ)等于________.解析:由分布列的性质得x+y=0.5,又E(ξ)=,所以2x+3y=,解得x=,y=.所以D(ξ)=(1-)2×+(2-)2×+(3-)2×=.答案:6.袋中有20个大小相同的球,其中记上0号的有10个,记上n号的有n个(n=1,2,3,4).现从袋中任取一球,ξ表示所取球的标号.(1)求ξ的分布列、期望和方差;(2)若η=aξ+b,E(η)=1,D(η)=11,试求a,b的值.2解:(1)ξ的分布列为:ξ01234P∴E(ξ)=0×+1×+2×+3×+4×=1.5,D(ξ)=(0-1.5)2×+(1-1.5)2×+(2-1.5)2×+(3-1.5)2×+(4-1.5)2×=2.75.(2)由D(η)=a2D(ξ),得a2×2.75=11,即a=±2.又E(η)=aE(ξ)+b,∴当a=2时,由1=2×1.5+b,得b=-2;当a=-2时,由1=-2×1.5+b,得b=4.∴或即为所求.题组三离散型随机变量的均值与方差的实际应用7.(2010·南平模拟)“好运”出租车公司按月将某辆车出租给司机,按照规定:无论是否出租,该公司每月都要负担这辆车的各种管理费100元,如果在一个月内该车被租的概率是0.8,租金是2600元,那么公司每月对这辆车收入的期望值为________元.解析:设公司每月对这辆车收入为X元,则其分布列为:X-1002500P0.20.8故E(X)=(-100)×0.2+2500×0.8=1980元.答案:19808.利用下列盈利表中的数据进行决策,应选择的方案是________.自然状况自然状况方案盈利概率A1A2A3A4S10.255070-2098S20.3065265282S30.45261678-10解析:利用方案A1、A2、A3、A4盈利的期望分别是:50×0.25+65×0.30+26×0.45=43.7;70×0.25+26×0.30+16×0.45=32.5;-20×0.25+52×0.30+78×0.45=45.7;98×0.25+82×0.30-10×0.45=44.6.答案:A39.某果园要将一批水果用汽车从所在城市甲运至销售商所在城市乙.已知从城市甲到城市乙只有两条公路,且运费由果园承担.若果园...