第八章第九节曲线与方程（含轨迹问题）（理）题组一直接法或定义法求轨迹方程1.若点P到直线x＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P的轨迹为()A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线解析：由题意知，点P到点(2,0)的距离与P到直线x＝－2的距离相等，由抛物线定义得点P的轨迹是以(2,0)为焦点，以直线x＝－2为准线的抛物线．答案：D2．(2010·驻马店二模)已知两点M(－2,0)，N(2,0)，点P为坐标平面内的动点，满足|MN�|·|MP�|＋MN�·NP�＝0，则动点P(x，y)的轨迹方程为()A．y2＝8xB．y2＝－8xC．y2＝4xD．y2＝－4x解析：|MN�|＝4，|MP�|＝，MN�·NP�＝4(x－2)，∴4＋4(x－2)＝0，∴y2＝－8x.答案：B3．如图，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是()A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．圆解析：由题意知，CD是线段MF的垂直平分线．∴|MP|＝|PF|，∴|PF|＋|PO|＝|PM|＋|PO|＝|MO|(定值)，又显然|MO|>|FO|，∴点P轨迹是以F、O两点为焦点的椭圆．答案：A题组二代入法(相关点法)求轨迹方程4.(2009·杭州调研)已知动点P在曲线2x2－y＝0上移动，则点A(0，－1)与点P连线中点的轨迹方程是()A．y＝2x2B．y＝8x2C．2y＝8x2－1D．2y＝8x2＋1解析：设AP的中点M(x，y)，P(x0，y0)，则有x0＝2x，y0＝2y＋1，代入2x－y0＝0，得2y＝8x2－1.答案：C5．(2010·济南模拟)从双曲线x2－y2＝1上一点Q引直线x＋y＝2的垂线，垂足为N，则线段1QN的中点P的轨迹方程为____________．解析：设P(x，y)，Q(x1，y1)，则N(2x－x1,2y－y1)， N在直线x＋y＝2上，∴2x－x1＋2y－y1＝2①又 PQ垂直于直线x＋y＝2，∴＝1，即x－y＋y1－x1＝0.②由①②得又 Q在双曲线x2－y2＝1上，∴x－y＝1.∴(x＋y－1)2－(x＋y－1)2＝1.整理，得2x2－2y2－2x＋2y－1＝0即为中点P的轨迹方程．答案：2x2－2y2－2x＋2y－1＝0题组三参数法求轨迹方程6.平面直角坐标系中，已知两点A(3,1)，B(－1,3)，若点C满足OC�＝λ1OA�＋λ2OB�(O为原点)，其中λ1，λ2∈R，且λ1＋λ2＝1，则点C的轨迹是()A．直线B．椭圆C．圆D．双曲线解析：设C(x，y)，则OC�＝(x，y)，OA�＝(3,1)，OB�＝(－1,3)， OC�＝λ1OA�＋λ2OB�，∴，又λ1＋λ2＝1，∴x＋2y－5＝0，表示一条直线．答案：A7．已知点P(x，y)对应的复数z满足|z|＝1，则点Q(x＋y，xy)的轨迹是()A．圆B．抛物线的一部分C．椭圆D．双曲线的一部分解析：由题意知x2＋y2＝1，∴(x＋y)2－2xy＝1.令x＋y＝m，xy＝n，则有m2－2n＝1，∴m2＝2n＋1.又 2|xy|≤x2＋y2＝1，∴－≤n≤.∴点Q的轨迹是抛物线的一部分．答案：B题组四曲线和方程的综合问题8.(2010·惠州模拟)已知动圆过定点(1,0)，且与直线x＝－1相切.(1)求动圆的圆心轨迹C的方程；(2)是否存在直线l，使l过点(0,1)，并与轨迹C交于P，Q两点，且满足OP�·OQ�＝0？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．解：(1)设M为动圆圆心，F(1,0)，过点M作直线x＝－1的垂线，垂足为N，由题意知：|MF|＝|MN|即动点M到定点F与到定直线x＝－1的距离相等，由抛物线的定义知，点M的轨迹为抛物线，其中F(1,0)为焦点，2x＝－1为准线，∴动圆圆心的轨迹方程为y2＝4x.(2)由题可设直线l的方程为x＝k(y－1)(k≠0)由得y2－4ky＋4k＝0Δ＝16k2－16k>0，∴k<0或k>1设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则y1＋y2＝4k，y1y2＝4k由OP�·OQ�＝0，即OP�＝(x1，y1)，OQ�＝(x2，y2)，于是x1x2＋y1y2＝0，即k2(y1－1)(y2－1)＋y1y2＝0，(k2＋1)y1y2－k2(y1＋y2)＋k2＝0，4k(k2＋1)－k2·4k＋k2＝0，解得k＝－4或k＝0(舍去)，又k＝－4<0，∴直线l存在，其方程为x＋4y－4＝0.9．(2009·宁夏、海南高考)已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点，焦点在x轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.(1)求椭圆C的方程；(2)若P为椭圆C上的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上的点，＝λ，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．解：(1)设椭圆长半轴长及半焦距分别为a、c，由已知得解得a＝4，c＝3，所以椭圆C的方程为＋＝1.(2)设M(x，y)，其中x∈[－4,4]．由已知＝λ2及点P在椭圆C上可...
