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第二章第三节函数的单调性与最值题组一函数单调性的判定1.(2009·福建高考)下列函数f(x)中，满足“对任意x1，x2(0∈，＋∞)，当x1f(x2)”的是()A.f(x)＝1xB.f(x)＝(x－1)2C.f(x)＝exD.f(x)＝ln(x＋1)解析：对任意的x1，x2∈(0，＋∞)，当x1f(x2)，∴f(x)在(0，＋∞)上为减函数.答案：A2.函数y＝x2＋bx＋c(x[0∈，＋∞))是单调函数的充要条件是()A.b≥0B.b≤0C.b＞0D.b＜0解析：函数y＝x2＋bx＋c在[0，＋∞)上为单调函数∴x＝－2b≤0，即b≥0.答案：A3.讨论函数f(x)＝x＋(a>0)的单调性.解：f(x)＝x＋(a>0)，定义域为{x|x∈R，且x≠0}且f(－x)＝－x＋＝－(x＋)＝－f(x).∴f(x)为奇函数，所以先讨论f(x)在(0，＋∞)上的单调性.设x1>x2>0，则f(x1)－f(x2)＝x1＋1ax－x2－2ax＝(x1－x2)(1－12axx)，当01.则f(x1)－f(x2)<0，故f(x)在(0，]上是减函数.当x1>x2≥时，恒有0<12axx<1，1则f(x1)－f(x2)>0，故f(x)在[，＋∞)上是增函数. f(x)是奇函数，∴f(x)在(－∞，－]，[，＋∞)上为增函数；f(x)在[－，0)，(0，]上为减函数.题组二函数的单调区间4.如果函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上是减函数，则实数a的取值范围是()A.[－3，＋∞)B.(－∞，－3]C.(－∞，5]D.[3，＋∞)解析：f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2的对称轴为x＝1－a，∴f(x)在(－∞，1－a]上是减函数，要使f(x)在区间(－∞，4]上是减函数，则只需1－a≥4，即a≤－3.答案：B5.函数y＝log(4＋3x－x2)的一个单调递增区间是()A.(－∞，]B.[，＋∞)C.(－1，)D.[，4)解析：由t＝4＋3x－x2＞0得－1＜x＜4，即函数y＝log(4＋3x－x2)的定义域为(－1,4)，又y＝logt是减函数，t＝4＋3x－x2在[，4)上递减，所以函数y＝log(4＋3x－x2)在[，4)上递增.答案：D6.已知函数f(x)＝31axa(a≠1).(1)若a＞0，则f(x)的定义域是；(2)若f(x)在区间(0,1]上是减函数，则实数a的取值范围是.解析：(1)当a＞0且a≠1时，由3－ax≥0得x≤3a，即此时函数f(x)的定义域是(－∞，3a]；(2)当a－1＞0，即a＞1时，要使f(x)在(0,1]上是减函数，则需3－a×1≥0，此时1＜a≤3.当a－1＜0，即a＜1时，要使f(x)在(0,1]上是减函数，则需－a＞0，此时a＜0.综上所述，所求实数a的取值范围是(－∞，0)∪(1,3].答案：(1)(－∞，3a](2)(－∞，0)(1,3]∪题组三函数的最值27.(2010·临沂模拟)对于任意两个实数a、b，定义运算“*”如下：,.aababbab≤则函数f(x)＝x2*[(6-x)*(2x+5)]的最大值为()A.25B.16C.9D.4解析：f(x)＝2215(3),(32),6(2).xxxxxx≤≤∴当x＝－3时，f(x)max＝9.答案：C8.设奇函数f(x)在[－1,1]上是增函数，f(－1)＝－1.若函数f(x)≤t2－2at＋1对所有的x∈[－1,1]都成立，则当a∈[－1,1]时，t的取值范围是.解析：若函数f(x)≤t2－2at＋1对所有的x∈[－1,1]都成立，由已知易得f(x)的最大值是1，∴1≤t2－2at＋1⇔2at－t2≤0，设g(a)＝2at－t2(－1≤a≤1)，欲使2at－t2≤0恒成立，则(1)0(1)0gg≤≤⇔t≥2或t＝0或t≤－2.答案：t≤－2或t＝0或t≥29.已知函数f(x)＝22xxax，x∈[1，＋∞).(1)当a＝4时，求f(x)的最小值；(2)当a＝时，求f(x)的最小值；(3)若a为正常数，求f(x)的最小值.解：(1)当a＝4时，f(x)＝x＋4x＋2，易知，f(x)在[1,2]上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数.∴f(x)min＝f(2)＝6.(2)当a＝时，f(x)＝x＋12x＋2.易知，f(x)在[1，＋∞)上为增函数.∴f(x)min＝f(1)＝.(3)函数f(x)＝x＋＋2在(0，]上是减函数，在[，＋∞)上是增函数.若>1，即a>1时，f(x)在区间[1，＋∞)上先减后增，f(x)min＝f()＝2＋2.若≤1，即0

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