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第二章 第三节 函数的单调性与最值VIP免费

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第二章第三节函数的单调性与最值题组一函数单调性的判定1.(2009·福建高考)下列函数f(x)中,满足“对任意x1,x2(0∈,+∞),当x1f(x2)”的是()A.f(x)=1xB.f(x)=(x-1)2C.f(x)=exD.f(x)=ln(x+1)解析: 对任意的x1,x2∈(0,+∞),当x1f(x2),∴f(x)在(0,+∞)上为减函数.答案:A2.函数y=x2+bx+c(x[0∈,+∞))是单调函数的充要条件是()A.b≥0B.b≤0C.b>0D.b<0解析: 函数y=x2+bx+c在[0,+∞)上为单调函数∴x=-2b≤0,即b≥0.答案:A3.讨论函数f(x)=x+(a>0)的单调性.解:f(x)=x+(a>0), 定义域为{x|x∈R,且x≠0}且f(-x)=-x+=-(x+)=-f(x).∴f(x)为奇函数,所以先讨论f(x)在(0,+∞)上的单调性.设x1>x2>0,则f(x1)-f(x2)=x1+1ax-x2-2ax=(x1-x2)(1-12axx), 当01.则f(x1)-f(x2)<0,故f(x)在(0,]上是减函数.当x1>x2≥时,恒有0<12axx<1,1则f(x1)-f(x2)>0,故f(x)在[,+∞)上是增函数. f(x)是奇函数,∴f(x)在(-∞,-],[,+∞)上为增函数;f(x)在[-,0),(0,]上为减函数.题组二函数的单调区间4.如果函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞,4]上是减函数,则实数a的取值范围是()A.[-3,+∞)B.(-∞,-3]C.(-∞,5]D.[3,+∞)解析:f(x)=x2+2(a-1)x+2的对称轴为x=1-a,∴f(x)在(-∞,1-a]上是减函数,要使f(x)在区间(-∞,4]上是减函数,则只需1-a≥4,即a≤-3.答案:B5.函数y=log(4+3x-x2)的一个单调递增区间是()A.(-∞,]B.[,+∞)C.(-1,)D.[,4)解析:由t=4+3x-x2>0得-1<x<4,即函数y=log(4+3x-x2)的定义域为(-1,4),又y=logt是减函数,t=4+3x-x2在[,4)上递减,所以函数y=log(4+3x-x2)在[,4)上递增.答案:D6.已知函数f(x)=31axa(a≠1).(1)若a>0,则f(x)的定义域是;(2)若f(x)在区间(0,1]上是减函数,则实数a的取值范围是.解析:(1)当a>0且a≠1时,由3-ax≥0得x≤3a,即此时函数f(x)的定义域是(-∞,3a];(2)当a-1>0,即a>1时,要使f(x)在(0,1]上是减函数,则需3-a×1≥0,此时1<a≤3.当a-1<0,即a<1时,要使f(x)在(0,1]上是减函数,则需-a>0,此时a<0.综上所述,所求实数a的取值范围是(-∞,0)∪(1,3].答案:(1)(-∞,3a](2)(-∞,0)(1,3]∪题组三函数的最值27.(2010·临沂模拟)对于任意两个实数a、b,定义运算“*”如下:,.aababbab≤则函数f(x)=x2*[(6-x)*(2x+5)]的最大值为()A.25B.16C.9D.4解析:f(x)=2215(3),(32),6(2).xxxxxx≤≤∴当x=-3时,f(x)max=9.答案:C8.设奇函数f(x)在[-1,1]上是增函数,f(-1)=-1.若函数f(x)≤t2-2at+1对所有的x∈[-1,1]都成立,则当a∈[-1,1]时,t的取值范围是.解析:若函数f(x)≤t2-2at+1对所有的x∈[-1,1]都成立,由已知易得f(x)的最大值是1,∴1≤t2-2at+1⇔2at-t2≤0,设g(a)=2at-t2(-1≤a≤1),欲使2at-t2≤0恒成立,则(1)0(1)0gg≤≤⇔t≥2或t=0或t≤-2.答案:t≤-2或t=0或t≥29.已知函数f(x)=22xxax,x∈[1,+∞).(1)当a=4时,求f(x)的最小值;(2)当a=时,求f(x)的最小值;(3)若a为正常数,求f(x)的最小值.解:(1)当a=4时,f(x)=x+4x+2,易知,f(x)在[1,2]上是减函数,在(2,+∞)上是增函数.∴f(x)min=f(2)=6.(2)当a=时,f(x)=x+12x+2.易知,f(x)在[1,+∞)上为增函数.∴f(x)min=f(1)=.(3)函数f(x)=x++2在(0,]上是减函数,在[,+∞)上是增函数.若>1,即a>1时,f(x)在区间[1,+∞)上先减后增,f(x)min=f()=2+2.若≤1,即0

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