第二章第三节的单调性题组一函数单调性的判定1.(2009·福建高考)下列函数f(x)中,满足“对任意x1,x2(0∈,+∞),当x1f(x2)”的是()A.f(x)=B.f(x)=(x-1)2C.f(x)=exD.f(x)=ln(x+1)解析: 对任意的x1,x2∈(0,+∞),当x1f(x2),∴f(x)在(0,+∞)上为减函数.答案:A2.函数y=x2+bx+c(x[0∈,+∞))是单调函数的充要条件是()A.b≥0B.b≤0C.b>0D.b<0解析: 函数y=x2+bx+c在[0,+∞)上为单调函数∴x=-≤0,即b≥0.答案:A3.讨论函数f(x)=x+(a>0)的单调性.解:f(x)=x+(a>0), 定义域为{x|x∈R,且x≠0}且f(-x)=-x+=-(x+)=-f(x).∴f(x)为奇函数,所以先讨论f(x)在(0,+∞)上的单调性.设x1>x2>0,则f(x1)-f(x2)=x1+-x2-=(x1-x2)(1-), 当01.则f(x1)-f(x2)<0,故f(x)在(0,]上是减函数.当x1>x2≥时,恒有0<<1,则f(x1)-f(x2)>0,故f(x)在[,+∞)上是增函数. f(x)是奇函数,∴f(x)在(-∞,-],[,+∞)上为增函数;f(x)在[-,0),(0,]上为减函数.题组二函数的单调区间14.如果函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞,4]上是减函数,则实数a的取值范围是()A.[-3,+∞)B.(-∞,-3]C.(-∞,5]D.[3,+∞)解析:f(x)=x2+2(a-1)x+2的对称轴为x=1-a,∴f(x)在(-∞,1-a]上是减函数,要使f(x)在区间(-∞,4]上是减函数,则只需1-a≥4,即a≤-3.答案:B5.(2010·黄冈模拟)已知函数f(x)=(2x2+x),则f(x)的单调递增区间为()A.(-∞,-)B.(-,+∞)C.(0,+∞)D.(-∞,-)解析:由2x2+x>0,得x>0或x<-,令h(x)=2x2+x,则h(x)的单调减区间为(-∞,-).又 x<-,∴f(x)的单调递增区间为(-∞,-).答案:D6.已知函数f(x)=(a≠1).(1)若a>0,则f(x)的定义域是;(2)若f(x)在区间(0,1]上是减函数,则实数a的取值范围是.解析:当a>0且a≠1时,由3-ax≥0得x≤,即此时函数f(x)的定义域是(-∞,];(2)当a-1>0,即a>1时,要使f(x)在(0,1]上是减函数,则需3-a×1≥0,此时1<a≤3.当a-1<0,即a<1时,要使f(x)在(0,1]上是减函数,则需-a>0,此时a<0.综上所述,所求实数a的取值范围是(-∞,0)∪(1,3].答案:(1)(-∞,](2)(-∞,0)(1,3]∪题组三抽象函数的单调性及最值7.已知f(x)是定义在(-∞,+∞)上的偶函数,且在(-∞,0]上是增函数,设a=f(log47),b=f(log3),c=f(0.20.6),则a,b,c的大小关系是()A.ca>bD.a1,|log3|=log23>1,0<0.20.6<1,∴|log3|>|log47|>|0.20.6|.又 f(x)在(-∞,0]上是增函数且为偶函数,2∴f(x)在[0,+∞)上是减函数.∴c>a>b.答案:C8.(2009·四川高考)已知函数f(x)是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数,且对任意实数x都有xf(x+1)=(1+x)f(x),则f()的值是()A.0B.C.1D.解析:令x=-,∴-f()=f(-)=f()( f(-)=f()),∴f()=0.令x=,∴f()=f(),∴f()=0.令x=,∴f()=f(),∴f()=0.答案:A9.设奇函数f(x)在[-1,1]上是增函数,f(-1)=-1.若函数f(x)≤t2-2at+1对所有的x∈[-1,1]都成立,则当a∈[-1,1]时,t的取值范围是.解析:若函数f(x)≤t2-2at+1对所有的x∈[-1,1]都成立,由已知易得f(x)的最大值是1,∴1≤t2-2at+1⇔2at-t2≤0,设g(a)=2at-t2(-1≤a≤1),欲使2at-t2≤0恒成立,则⇔t≥2或t=0或t≤-2.答案:t≤-2或t=0或t≥2题组四函数单调性的综合应用10.已知函数f(x)=x2-2ax+a,在区间(-∞,1)上有最小值,则函数g(x)=在区间(1,+∞)上一定()A.有最小值B.有最大值C.是减函数D.是增函数解析:由题意a<1,又函数g(x)=x+-2a在[,+∞)上为增函数,故选D.答案:D11.已知函数f(x)=,x∈[1,+∞).(1)当a=4时,求f(x)的最小值;(2)当a=时,求f(x)的最小值;(3)若a为正常数,求f(x)的最小值.解:(1)当a=4时,f(x)=x++2,易知,f(x)在[1,2]上是减函数,在(2,+∞)上是增函数.∴f(x)min=f(2)=6.(2)当a=时,f(x)=x++2.3易知,f(x)在[1,+∞)上为增函数.∴f(x)min=f(1)=.(3)函数f(x)=x++2在(0,]...