第二章 第12节 导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例VIP免费

第二章第十二节导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例题组一导数与函数的单调性1.(2009·广东高考)函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是说明()A．(－∞，2)B．(0,3)C．(1,4)D．(2，＋∞)解析：f(x)＝(x－3)·ex，f′(x)＝ex(x－2)＞0，∴x＞2.∴f(x)的单调递增区间为(2，＋∞)．答案：D2.若函数h(x)＝2x－＋在(1，＋∞)上是增函数，则实数k的取值范围是()A．[－2，＋∞)B．[2，＋∞)C．(－∞，－2]D．(－∞，2]解析：因为h′(x)＝2＋，所以h′(x)＝2＋＝≥0在(1，＋∞)上恒成立，即k≥－2x2在(1，＋∞)上恒成立，所以k∈[－2，＋∞)．答案：A3．已知函数y＝ax与y＝－在(0，＋∞)上都是减函数，则函数y＝ax3＋bx2＋5的单调减区间为________．解析：根据题意a＜0，b＜0.由y＝ax3＋bx2＋5，得y′＝3ax2＋2bx，令y′＜0，可得x＞0或x＜－，故所求减区间为(－∞，－)和(0，＋∞)．答案：(－∞，－)和(0，＋∞)4．设函数f(x)＝x3＋ax2－9x－1(a<0)．若曲线y＝f(x)的斜率最小的切线与直线12x＋y＝6平行，求：(1)a的值；(2)函数f(x)的单调区间．解：(1)因f(x)＝x3＋ax2－9x－1，所以f′(x)＝3x2＋2ax－9＝32－9－.即当x＝－时，f′(x)取得最小值－9－.因斜率最小的切线与12x＋y＝6平行，即该切线的斜率为－12，所以－9－＝－12，即a2＝9.解得a＝±3，由题设a<0，所以a＝－3.(2)由(1)知a＝－3，因此f(x)＝x3－3x2－9x－1，f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x－3)(x＋1)，令f′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝3.当x∈(－∞，－1)时，f′(x)>0，故f(x)在(－∞，－1)上为增函数；当x∈(－1,3)时，f′(x)<0，1故f(x)在(－1,3)上为减函数；当x∈(3，＋∞)时，f′(x)>0，故f(x)在(3，＋∞)上为增函数．由此可见，函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)和(3，＋∞)，单调递减区间为(－1,3)．题组二导数与函数的极值和最值5.(文)函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，已知f(x)在x＝－3时取得极值，则a＝()A．2B．3C．4D．5解析：因为f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，所以f′(x)＝3x2＋2ax＋3，由题意有f′(－3)＝0，所以3×(－3)2＋2a×(－3)＋3＝0，由此解得a＝5.答案：D(理)设a∈R，若函数y＝ex＋ax，x∈R有大于零的极值点，则()A．a＜－1B．a＞－1C．a＞－D．a＜－解析：由y′＝(ex＋ax)′＝ex＋a＝0得ex＝－a，即x＝ln(－a)＞0⇒－a＞1⇒a＜－1.答案：A6.若函数f(x)＝x3－3x＋a有3个不同的零点，则实数a的取值范围是()A．(－2,2)B．[－2,2]C．(－∞，－1)D．(1，＋∞)解析：由f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)，且当x＜－1时，f′(x)＞0；当－1＜x＜1时，f′(x)＜0；当x＞1时，f′(x)＞0.所以当x＝－1时函数f(x)有极大值，当x＝1时函数f(x)有极小值．要使函数f(x)有3个不同的零点，只需满足解之得－2＜a＜2.答案：A7．函数y＝sin2x－x，x∈[－，]的最大值是________，最小值是________．解析： y′＝2cos2x－1＝0，∴x＝±.而f(－)＝－＋，f()＝－，端点f(－)＝，f()＝－，所以y的最大值是，最小值是－.答案：－8．(文)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点x＝1处的切线l不过第四象限且斜率为3，又坐标原点到切线l的距离为，若x＝时，y＝f(x)有极值，(1)求a，b，c的值；(2)求y＝f(x)在[－3,1]上的最大值和最小值．解：(1)由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，得f′(x)＝3x2＋2ax＋b.当x＝1时，切线l的斜率为3，可得2a＋b＝0.①当x＝时，y＝f(x)有极值，则f′()＝0，可得24a＋3b＋4＝0.②由①②解得a＝2，b＝－4.设切线l的方程为y＝3x＋m.由原点到切线l的距离为，则＝，解得m＝±1. 切线l不过第四象限，∴m＝1.由于切点的横坐标为x＝1，∴f(1)＝4.∴1＋a＋b＋c＝4，∴c＝5；(2)由(1)可得f(x)＝x3＋2x2－4x＋5，∴f′(x)＝3x2＋4x－4.令f′(x)＝0，得x＝－2，x＝.f(x)和f′(x)的变化情况如下表：x[－3，－2)－2(－2，)(，1]f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值∴f(x)在x＝－2处取得极大值f(－2)＝13，在x＝处取得极小值f()＝.又f(－3)＝8，f(1)＝4，∴f(x)在[－3,1]上的最大值为13，最小值为.(理)已知函数f(x)＝x3＋2bx2＋cx－2的图象在与x轴交点处的切线方程是y＝5x－10.(1)求函数f(x)的解析式；(2)设函数g(x)＝f(x)＋m...