第三章 第一节 数列的概念VIP免费

第三章第一节数列的概念题组一由数列的前n项求数列的通项公式1.数列、、2、…，则2是该数列的()A.第6项B.第7项C.第10项D.第11项解析：原数列可写成、、，…. 2＝，∴20＝2＋(n－1)×3，∴n＝7.答案：B2.下列关于星星的图案构成一个数列，该数列的一个通项公式是()A.an＝n2－n＋1B.an＝(1)2nnC.an＝(1)2nnD.an＝(2)2nn解析：从图中可观察星星的构成规律，n＝1时，有1个；n＝2时，有3个；n＝3时，有6个；n＝4时，有10个；…∴an＝1＋2＋3＋4＋…＋n＝(1)2nn.答案：C3.(2010·安徽师大附中模拟)观察下图：12343456745678910……则第行的各数之和等于20092.解析：通过观察题图可以发现规律：第n行的第一个数为n，且第n行共有2n－1个连续的正整数，故由(2n－1)n＋(21)(22)2nn×1＝(2n－1)2＝20092，得n＝1005.答案：10051题组二由an与Sn的关系求通项公式4.已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－9n，第k项满足5＜ak＜8，则k＝()A.9B.8C.7D.6解析：an＝11(1),(2).nnSnSSn≥＝8(1),102(2).nnn≥ n＝1时适合an＝2n－10，∴an＝2n－10. 5＜ak＜8，∴5＜2k－10＜8，∴＜k＜9.又 k∈N*，∴k＝8.答案：B5.已知数列{an}的前n项和Sn＝－n2＋24n(n∈N).(1)求{an}的通项公式；(2)当n为何值时，Sn达到最大？最大值是多少？解：(1)n＝1时，a1＝S1＝23；n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－2n＋25.经验证，a1＝23符合an＝－2n＋25，∴an＝－2n＋25(n∈N).(2)法一： Sn＝－n2＋24n＝－(n－12)2＋144，∴n＝12时，Sn最大且Sn＝144.法二： an＝－2n＋25，∴an＝－2n＋25＞0，有n＜，∴a12＞0，a13＜0，故S12最大，最大值为144.题组三递推公式的应用6.在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln(1＋1n)，则an＝()A.2＋lnnB.2＋(n－1)lnnC.2＋nlnnD.1＋n＋lnn解析：法一：由已知，an＋1－an＝ln1nn，a1＝2，∴an－an－1＝ln1nn，an－1－an－2＝ln12nn，……a2－a1＝ln，2将以上n－1个式子累加得：an－a1＝ln1nn＋ln12nn＋…＋ln＝ln(1nn·12nn·…·)＝lnn，∴an＝2＋lnn.法二：由a2＝a1＋ln2＝2＋ln2，排除C、D；由a3＝a2＋ln(1＋)＝2＋ln3，排除B.答案：A7.在数列{an}中，a1＝1，a2＝5，an＋2＝an＋1－an(n∈N*)，则a1000＝()A.5B.－5C.1D.－1解析：由a1＝1，a2＝5，an＋2＝an＋1－an(n∈N*)，可得该数列为1,5,4，－1，－5，－4,1,5,4，….此数列为周期数列，由此可得a1000＝－1.答案：D8.根据下列各个数列{an}的首项和基本关系式，求其通项公式.(1)a1＝1，an＝an－1＋3n－1(n≥2)；(2)a1＝1，an＝1nnan－1(n≥2).解：(1) an＝an－1＋3n－1，∴an－1＝an－2＋3n－2，an－2＝an－3＋3n－3，…a2＝a1＋31.以上(n－1)个式子相加得an＝a1＋31＋32＋…＋3n－1＝1＋3＋32＋…＋3n－1＝312n.(2) an＝1nnan－1(n≥2)，∴an－1＝21nnan－2，…a2＝a1.以上(n－1)个式子相乘得an＝a1··……·1nn＝1an＝1n.题组四数列的函数性质及综合应用39.已知数列{an}的通项公式是an＝(1)nanb，其中a、b均为正常数，那么an与an＋1的大小关系是()A.an＞an＋1B.an＜an＋1C.an＝an＋1D.与n的取值有关解析：＝(1)nanb÷(1)(2)nanb＝2(2)(1)nnn＝22221nnnn＜1， an＋1＞0，∴an＜an＋1.答案：B10.(2010·绍兴模拟)在计算机算法语言中有一种函数y＝int(x)叫做取整函数(也称高斯函数)，它表示不超过x的最大整数，如int(0.9)＝0，int(3.14)＝3.已知＝0.142857......令an＝int()，b1＝a1，当n>1时，bn＝an－10an－1(n∈N*)，则b2010＝()A.2009B.1C.2010D.7解析：由题可知，n、an、bn的对应情况如下表，N123456789…an114142142814285142857142857114285714142857142…bn142857142…观察上表可知{bn}是一个周期为6的周期函数，所以b2010＝b335×6＝b6＝7.答案：D11.(文)数列{an}满足an＋an＋1＝(n∈N*)，a2＝2，Sn是数列{an}的前n项和，则S21＝.解析：a1＝－a2＝－2，a2＝2，a3＝－2，a4＝2，…，知数列为周期数列，周期T＝2，a1＋a2＝，∴S21＝10×＋a1＝5＋－2＝.答案：(理)已知函数f(n)＝22(),()nnnn当为奇数时当为偶数时，且an＝f(n)＋f(n...