3随机分析1——随机过程的微积分数学分析与随机分析2在普通函数的微积分中，连续、导数和积分等概念都是建立在极限概念的基础上。在随机分析中，以随机序列极限为基础，研究分析随机过程的连续、导数和积分等概念和性质。一、收敛性概念对于概率空间（Ω,F,P）上的随机序列{Xn}，每个试验结果e都对应一序列X1(e),X2(e),…,Xn(e),…,若这一族序列对每个e都收敛，则称随机序列{Xn}处处收敛，即满足其中X为随机变量。3以概率1收敛[以概率1收敛]称二阶矩随机序列{Xn(e)}以概率1收敛于二阶矩随机变量X(e)，若使成立的e的集合的概率为1，即或称{Xn(e)}几乎处处收敛于X(e)，记作。4依概率收敛[依概率收敛]称二阶矩随机序列{Xn(e)}依概率收敛于二阶矩随机变量X(e)，若对于任意给定的ε>0，有记作。5均方收敛[均方收敛]设有二阶矩随机序列{Xn}和二阶矩随机变量X，若有成立，则称{Xn}均方收敛于X，记作。6依分布收敛[依分布收敛]称二阶矩随机序列{Xn}依分布收敛于二阶矩随机变量X，若{Xn}相应的分布函数列{Fn(x)}，在X的分布函数F(x)的每一个连续点处，有记作。7四种收敛定义的关系pd8a.em.s大家有疑问的，可以询问和交流9可以互相讨论下，但要小声点均方收敛的性质[定理]设{Xn},{Yn},都是二阶矩随机序列，U是二阶矩随机变量，{cn}是常数序列，a,b,c为常数。令l.i.mXn=X,l.i.mYn=Y,limcn=c，则有极限运算与求数学期望运算可以交换顺序10收敛的充要条件[定理1]二阶矩随机序列{Xn}收敛于二阶矩随机变量X的充要条件为[定理2]二阶矩随机序列{Xn}均方收敛的充要条件为下列极限存在且为常数：11随机过程的极限[极限]当t→t0时，二阶矩随机过程{X(t),t∈T}均方收敛于二阶矩随机变量X，即则称X为随机过程X(t)在t0点的极限，或记作12二、均方连续[定义]设有二阶矩过程{X(t),t∈T}，若对某一个t∈T，有则称{X(t)}在t点均方连续，记作若对T中所有点都均方连续，则称{X(t)}在T上均方连续。13均方连续准则14[定理]二阶矩过程{X(t),t∈T}在t点均方连续的充要条件是相关函数RX(t1,t2)在点(t,t)处连续。[推论]若相关函数RX(t1,t2)在{(t,t),t∈T}上连续，则它在T×T上连续。三、均方导数[定义]设{X(t),t∈T}为二阶矩过程，若存在另一个随机过程X′(t)，满足则称X(t)在t点均方可微，记作并称X′(t)为X(t)在t点的均方导数。若X(t)在T上每一点t均方可微，则称它在T上均方可微。15均方可微准则[定理]二阶矩过程{X(t),t∈T}在t点均方可微的充要条件是相关函数RX(t1,t2)在点(t,t)的广义二阶导数存在。[推论1]二阶矩过程{X(t),t∈T}在T上均方可微的充要条件是相关函数RX(t1,t2)在{(t,t),t∈T}上每一点广义二阶可微。16均方可微准则[推论2]若相关函数RX(t1,t2)在{(t,t),t∈T}上每一点广义二阶可微，则在T上以及在T×T上存在，且有数学期望运算与求导运算可以交换顺序17四、均方积分设{X(t),t∈T}为二阶矩过程，f(t)为普通函数，T=[a,b]，[定义]若当Δn→0时，Sn均方收敛于S，即则称f(t)X(t)在区间[a,b]上均方可积，其积分值记为18均方可积准则[定理]f(t)X(t)在区间[a,b]上均方可积的充要条件是存在。特别地，二阶矩过程X(t)在区间[a,b]上均方可积的充要条件是RX(t1,t2)在[a,b]×[a,b]上可积。19均方积分性质（1）数学期望与求积运算可以交换顺序20均方积分性质（2）[定理]设二阶矩过程{X(t),t∈T}在区间[a,b]上均方连续，则在均方意义下存在，且随机过程{Y(t),t∈T}在区间[a,b]上均方可微，且有Y′(t)=X(t)。[推论]设X(t)均方可微，X′(t)均方连续，则21例1设{X(t),t∈T}是实均方可微过程，求其导数过程{X′(t),t∈T}的协方差函数BX′(s,t)。[解]22五、均方随机微分方程[定义]设{X(t),t∈T}是一个具有n阶均方导数的随机过程，Y(t)是另一个随机过程，an(t)是普通函数，则称为n阶线性随机微分方程。23例2设{Y(t),t∈T}是均方连续二阶矩过程，an(t)是普通函数，求解一阶线性随机微分方程[解]24
