第七章第三节线性规划问题题组一平面区域问题1.在平面直角坐标系中，若不等式组(a为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a的值为()A．－5B．1C．2D．3解析：不等式组所围成的区域如图所示．则A(1,0)，B(0,1)，C(1,1＋a)且a>－1， S△ABC＝2，∴(1＋a)×1＝2，解得a＝3.答案：D2．(2009·湖南高考)已知D是由不等式组所确定的平面区域，则圆x2＋y2＝4在区域D内的弧长为()A.B.C.D.解析：如图，l1、l2的斜率分别是k1＝，k2＝－，不等式组表示的平面区域为阴影部分． tan∠AOB＝＝1，∴∠AOB＝，∴弧长＝·2＝.答案：B3．(2010·淮南模拟)在平面直角坐标系中，不等式组所表示的平面区域的面积是，请写出满足条件的一个不等式f(x，y)≤0：________.解析：如图所示，先画出不等式组中已给出的三个不等式所表示的平面区域，它是一个直角三角形(包括边界)，其面积为4.再过原点作一条直线l：kx－y＝0(k>0)，l与直线2x＋y－4＝0的交点P的横坐标为，由×4×＝得k＝，所以满足条件的一个不等式为x－y≤0，即2x－7y≤0.答案：2x－7y≤0(答案不唯一)1题组二利用线性规划求最值4.设变量x、y满足约束条件则目标函数z＝2x＋3y的最小值为()A．6B．7C．8D．23解析：约束条件表示的平面区域如图易知过C(2,1)时，目标函数z＝2x＋3y取得最小值．∴zmin＝2×2＋3×1＝7.答案：B5．(2009·陕西高考)若x，y满足约束条件目标函数z＝ax＋2y仅在点(1,0)处取得最小值，则a的取值范围是()A．(－1,2)B．(－4,2)C．(－4,0]D．(－2,4)解析：可行域为△ABC，如图当a＝0时，显然成立．当a＞0时，直线ax＋2y－z＝0的斜率k＝－＞kAC＝－1，a＜2.当a＜0时，k＝－＜kAB＝2，∴a＞－4.综合得－4＜a＜2.答案：B6．已知关于x、y的二元一次不等式组(1)求函数u＝3x－y的最大值和最小值；(2)求函数z＝x＋2y＋2的最大值和最小值．解：(1)作出二元一次不等式组表示的平面区域，如图所示．由u＝3x－y，得y＝3x－u，得到斜率为3，在y轴上的截距为－u，随u变化的一组2平行线，由图可知，当直线经过可行域上的C点时，截距－u最大，即u最小，解方程组得C(－2,3)，∴umin＝3×(－2)－3＝－9.当直线经过可行域上的B点时，截距－u最小，即u最大，解方程组得B(2,1)，∴umax＝3×2－1＝5.∴u＝3x－y的最大值是5，最小值是－9.(2)作出二元一次不等式组表示的平面区域，如图所示．由z＝x＋2y＋2，得y＝－x＋z－1，得到斜率为－，在y轴上的截距为z－1，随z变化的一组平行线，由图可知，当直线经过可行域上的A点时，截距z－1最小，即z最小，解方程组得A(－2，－3)，∴zmin＝－2＋2×(－3)＋2＝－6.当直线与直线x＋2y＝4重合时，截距z－1最大，即z最大，∴zmax＝4＋2＝6.∴z＝x＋2y＋2的最大值是6，最小值是－6.题组三线性规划的实际应用7.(2009·湖北高考)在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇．现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用．每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台．若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为()A．2000元B．2200元C．2400元D．2800元解析：设需使用甲型货车x辆，乙型货车y辆，运输费用z元，根据题意，得线性约束条件求线性目标函数z＝400x＋300y的最小值．解得当时，zmin＝2200.答案：B38．(2009·山东高考)某公司租赁甲、乙两种设备生产A、B两类产品，甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件，乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件．已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元．现该公司至少要生产A类产品50件，B类产品140件，所需租赁费最少为________元．解析：设需租赁甲型设备x台，乙型设备y台．租赁费为z元．根据题意得z＝200x＋300y.如图可知z在(4,5)处取到最小值，z＝4×200＋5×300＝2300.即所需租赁费最少为2300元．答案：23009．某人上午7时乘摩托艇以匀速vkm/h(4≤v≤20)从A港出发到距50km的B港去，然后乘汽车以匀速wkm/h(30≤w≤100)自B港向距300km的C市驶去．应该在同一天下午4至9点到达C市．设乘摩托艇、汽车去所需要的时间分别是xh、yh．若所需的经费p＝100＋3(5－y)＋2(8－x)元，那么v、w...
