第七单元 数列的求和、极限、数学归纳法VIP免费

第七单元数列的求和、极限、数学归纳法一.选择题(1)已知等差数列｛an｝的前n项和为Sn，且S4=3，S8=7，则S12的值是()A8B11C12D15(2)已知数列满足，则=（）A0BCD(3)数列1,(1+2),(1+2+22),…,(1+2+22+…+2n-1+…)的前n项和是()A2nB2n-2C2n+1-n-2Dn·2n(4)从集合｛1，2，3，4，5，6，7，8，9，10｝中任选三个不同的数，如果这三个数经过适当的排列成等差数列，则这样的等差数列一共有()A20个B40个C10个D120个(5)＝()A2B4CD0(6)如果为各项都大于零的等差数列，公差，则()ABCD(7)已知等差数列｛an｝与｛bn｝的前n项和分别为Sn与Tn,若,则的值是()ABCD(8)的值是()ABCD(9)已知数列{log2(an－1)}（n∈N*）为等差数列，且a1＝3，a2＝5，则=()A2BC1D1(10)已知数列满足,,….若,则()ＡＢ３Ｃ４Ｄ５二.填空题(11)在等差数列｛an｝中，a1＞0，a5=3a7，前n项和为Sn，若Sn取得最大值，则n=.(12)在等差数列｛an｝中，前n项和为Sn，若S19=31，S31=19，则S50的值是______(13)在等比数列｛an｝中，若a9·a11=4，则数列｛｝前19项之和为_______(14)若a>0,且a≠1,则的值是.三.解答题(15)设数列{an}的首项a1=a≠，且,记，n＝＝l，2，3，…·．（I）求a2，a3；（II）判断数列{bn}是否为等比数列，并证明你的结论；（III）求2(16)数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，，n=1，2，3，……，求（I）a2，a3，a4的值及数列{an}的通项公式；（II）的值.(17)已知{}是公比为q的等比数列，且成等差数列.（Ⅰ）求q的值；（Ⅱ）设{}是以2为首项，q为公差的等差数列，其前n项和为Sn，当n≥2时，比较Sn与bn的大小，并说明理由..3(18)已知定义在R上的函数和数列满足下列条件：，，其中a为常数，k为非零常数.（Ⅰ）令，证明数列是等比数列；（Ⅱ）求数列的通项公式；（Ⅲ）当时，求.参考答案一选择题:1.C[解析]：∵｛an｝等差数列，∴2(S8－S4)=S4＋(S12－S8)，且S4=3，S8=7，则S12=122.B[解析]：已知数列满足，则有规律的重复了，故=。3.C[解析]：∵(1+2+22+…+2n-1)=2n－1∴数列1,(1+2),(1+2+22),…,(1+2+22+…+2n-1+…)的前n项和为：（2－1）+(22－1)+…+(2n－1)=2n+1-n-24.B[解析]：当公差d为正时，若d=1，则这样的等差数列有8个4若d=2，则这样的等差数列有6个若d=3，则这样的等差数列有4个若d=4，则这样的等差数列有2个共有20个当公差d为负时，也有20个。5.C[解析]：==6.B[解析]：因为为各项都大于零的等差数列，公差故故7.C[解析]：因为等差数列｛an｝与｛bn｝的前n项和分别为Sn与Tn,则若,则==8.C[解析]：9.C[解析]：因为数列{log2(an－1)}（n∈N*）为等差数列，∴故设log2(an+1－1)－log2(an－1)=d又a1＝3，a2＝5，故d=1∴,5故{an－1}是首项为2，公比为2的等比数列，∴an－1=2n，∴an=2n＋1，∴an+1－an=2n=则=110.B[解析]：因为数列满足,,….则，，……故又，故二填空题:11.7或8[解析]：在等差数列｛an｝中，a1＞0，∵a5=3a7，∴a1＋4d=3(a1＋6d)∴a1=∴Sn=n()＋d=，∴n=7或8时，Sn取得最大值。12.－50[解析]：在等差数列｛an｝中，前n项和为Sn，S19=19a1＋19×9dS31=31a1＋31×15dS31－S19=12a1＋12×又S19=31，S31=19，6故a1＋=－1S50=－5013.－19[解析]：由题意an>0,且a1·a19=a2·a18=…=a9·a11=又a9·a11=4，故=故+…+=14.-2(a>1时);3(01时,=0，此时=三解答题(15)解（I）a2＝a1+=a+，a3=a2=a+；（II）∵a4=a3+=a+,所以a5=a4=a+,所以b1=a1－=a－,b2=a3－=(a－),b3=a5－=(a－),猜想：{bn}是公比为的等比数列·证明如下：因为bn+1＝a2n+1－=a2n－=(a2n－1－)=bn,(n∈N*)所以{bn}是首项为a－,公比为的等比数列·7（III）(16)解（I）由a1=1，，n=1，2，3，……，得，，，由（n≥2），得（n≥2），又a2=，所以an=(n≥2),∴数列{an}的通项公式为；（II）由（I）可知是首项为，公比为项数为n的等比数列，∴=(17)解（Ⅰ）由题设（Ⅱ）若当故若当8故对于(18)（Ⅰ）证明：由，可得.由数学归纳法可证.由题设条件，当时因此，数列是一个公比为k的等比数列.（Ⅱ）解：由（1）知，当时，当时，.而所以，当时,.上式对也成立.所以，数列的通项公式为.当时。上式对也成立，所以，数列的通项公式为，（Ⅲ）解：当时,.9