专训2线段垂直平分线的四种应用线段垂直平分线的性质在求线段中的应用1．如图，在△ABC中，∠BAC＝130°，BC＝18cm，AB，AC的垂直平分线分别交BC于点E，F，与AB，AC分别交于点D，G，连接AE，AF.求：(1)∠EAF的度数；(2)△AEF的周长．(第1题)线段垂直平分线的性质在求角中的应用2．【2015·乐山)如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB，已知∠ADE＝40°，则∠DBC＝________°.(第2题)3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB边的垂直平分线DE交BC于点D，交AB于点E，连接AD，AD将∠CAB分成两个角，且∠1∶∠2＝2∶5，求∠ADC的度数．(第3题)线段垂直平分线的性质在实际中的应用4．如图，某城市规划局为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区A，B，C之间修建一个购物中心，试问：该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等？(第4题)线段垂直平分线的性质在判定两线位置关系中的应用5．如图，OE，OF分别是△ABC中AB，AC边的中垂线(即垂直平分线)，∠OBC，∠OCB的平分线相交于点I，试判定OI与BC的位置关系，并给出证明．(第5题)答案1．解：(1)∵DE垂直平分AB，FG垂直平分AC，∴EB＝EA，FA＝FC，∴∠BAE＝∠B，∠FAC＝∠C.∵在△ABC中，∠BAC＝130°，∴∠B＋∠C＝50°，∴∠BAE＋∠FAC＝50°，∴∠EAF＝∠BAC－(∠BAE＋∠FAC)＝80°.(2)∵BC＝18cm，∴△AEF的周长为AE＋AF＋EF＝BE＋CF＋EF＝BC＝18cm.2．15点拨：在Rt△AED中，∠ADE＝40°，所以∠A＝50°.因为AB＝AC，所以∠ABC＝＝65°.因为DE垂直平分AB，所以DA＝DB，所以∠DBE＝∠A＝50°.所以∠DBC＝∠ABC－∠DBE＝65°－50°＝15°.3．解：∵∠1∶∠2＝2∶5，∴设∠1＝2x，则∠2＝5x.∵DE是线段AB的垂直平分线，∴AD＝BD.∴∠B＝∠2＝5x.∴∠ADC＝∠2＋∠B＝10x.∵在△ADC中，2x＋10x＝90°，解得x＝7.5°，∴∠ADC＝10x＝75°.4．解：连接AB，BC，分别作AB，BC的垂直平分线DE，GF，两直线交于点M，则点M就是所要确定的购物中心的位置．如图．(第4题)点拨：解决作图选点性问题，若要找与某两个点的距离相等的点，一般在这两点所连线段的垂直平分线上去找；若要找到某两条不平行的直线的距离相等的点，则一般在这两条直线相交所成的角的平分线上去找.5．解：OI⊥BC.证明：连接AO，延长OI交BC于点M.∵OE，OF分别为AB，AC的中垂线，∴OA＝OB，OA＝OC，∴OB＝OC又∵BI，CI分别为∠OBC，∠OCB的平分线，∴点I必在∠BOC的平分线上，∴∠BOI＝∠COI.在△BOM和△COM中，∴△BOM≌△COM(SAS)．∴∠BMO＝∠CMO.又∵∠BMO＋∠CMO＝180°，∴∠BMO＝∠CMO＝90°，∴OI⊥BC.
