甘肃省武威市铁路中学高考数学专题训练压轴大题突破练(四)文(推荐时间：60分钟)1．已知a∈R，函数f(x)＝(－x2＋ax)ex(x∈R，e为自然对数的底数)．(1)当a＝2时，求函数f(x)的单调递增区间；(2)若函数f(x)在(－1,1)上单调递增，求a的取值范围；(3)函数f(x)是否为R上的单调函数？若是，求出a的取值范围；若不是，请说明理由．解(1)当a＝2时，f(x)＝(－x2＋2x)ex，∴f′(x)＝(－2x＋2)ex＋(－x2＋2x)ex＝(－x2＋2)ex.令f′(x)>0，即(－x2＋2)ex>0， ex>0，∴－x2＋2>0.解得－0，∴－x2＋(a－2)x＋a≥0对x∈(－1,1)都成立．即a≥＝＝(x＋1)－对x∈(－1,1)都成立．令y＝(x＋1)－，则y′＝1＋>0.∴y＝(x＋1)－在(－1,1)上单调递增．∴y<(1＋1)－＝.∴a≥.(3)若函数f(x)在R上单调递减，则f′(x)≤0对x∈R恒成立，即[－x2＋(a－2)x＋a]ex≤0对x∈R都成立， ex>0，∴x2－(a－2)x－a≥0对x∈R都成立．∴Δ＝(a－2)2＋4a≤0，即a2＋4≤0，这是不可能的，故函数f(x)不可能在R上单调递减．若函数f(x)在R上单调递增，则f′(x)≥0对x∈R恒成立，即[－x2＋(a－2)x＋a]ex≥0对x∈R都成立， ex>0，∴x2－(a－2)x－a≤0对x∈R都成立．而Δ＝(a－2)2＋4a＝a2＋4>0，故函数f(x)不可能在R上单调递增．综上可知函数f(x)不可能是R上的单调函数．2．设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，右焦点到直线＋＝1的距离d＝，O为坐标原点．(1)求椭圆C的方程；1(2)过点O作两条互相垂直的射线，与椭圆C分别交于A，B两点，证明：点O到直线AB的距离为定值．(1)解由e＝得＝，即a＝2c，∴b＝c.由右焦点到直线＋＝1的距离为d＝，＋＝1化为一般式：bx＋ay－ab＝0得＝，解得a＝2，b＝.所以椭圆C的方程为＋＝1.(2)证明设A(x1，y1)，B(x2，y2)，当直线AB斜率存在时，可设直线AB的方程为y＝kx＋m，与椭圆＋＝1，联立消去y整理可得(4k2＋3)x2＋8kmx＋(4m2－12)＝0.由根与系数的关系得：x1＋x2＝－，x1x2＝. OA⊥OB，∴x1x2＋y1y2＝0，∴x1x2＋(kx1＋m)(kx2＋m)＝0.即：(k2＋1)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝0，∴(k2＋1)－＋m2＝0，整理得7m2＝12(k2＋1)，所以O到直线AB的距离d＝＝＝(为定值)．当直线AB斜率不存在时，可求出直线AB方程为x＝±.则点O到直线AB的距离为(定值)．3．设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，上顶点为A，在x轴负半轴上有一点B，满足BF1＝F1F2，且AB⊥AF2，如图所示．(1)求椭圆C的离心率；(2)若过A、B、F2三点的圆恰好与直线l：x－y－3＝0相切，求椭圆C的方程；(3)在(2)的条件下，过右焦点F2作斜率为k的直线l′与椭圆C交于M、N两点，在x轴上是否存在点P(m,0)使得以PM、PN为邻边的平行四边形是菱形？如果存在，求出m的取值范围；如果不存在，说明理由．解(1)设B(x0,0)，则F2(c,0)，A(0，b)，由AB⊥AF2，可知△ABF2是以点A为直角顶点的直角三角形，由BF1＝F1F2，可知F1为BF2的中点，且|BF2|＝2|F1F2|＝4c.∴|AF1|＝|BF2|＝2c，而|AF1|＝a，故有a＝2c.∴椭圆的离心率e＝.(2)由(1)，知＝，得c＝a.于是F2，B，△ABF2的外接圆圆心为，半径r＝|F2B|＝a，2∴＝a，解得a＝2.∴c＝1，b＝.故所求椭圆方程为＋＝1.(3)由(2)，知F2(1,0)，l′：y＝k(x－1)，联立，得整理，得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝，y1＋y2＝k(x1＋x2－2)，PM＋PN＝(x1－m，y1)＋(x2－m，y2)＝(x1＋x2－2m，y1＋y2)．由于菱形的对角线垂直，则(PM＋PN)·MN＝0，即(x2－x1)[x1＋x2－2m＋k(y1＋y2)]＝0.故k(y1＋y2)＋x1＋x2－2m＝0，则k2(x1＋x2－2)＋x1＋x2－2m＝0，k2＋－2m＝0.由已知条件，知k≠0且k∈R，∴m＝＝，∴0
