甘肃省武威市铁路中学高考数学专题训练 中档大题保分练(三)理VIP免费

甘肃省武威市铁路中学高考数学专题训练中档大题保分练(三)理(推荐时间：50分钟)1．已知向量m＝(sinx,1)，n＝(A>0)，函数f(x)＝m·n的最大值为6.(1)求A；(2)将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)在上的值域．解(1)f(x)＝m·n＝Asinxcosx＋cos2x＝A＝Asin.因为A>0，由题意知A＝6.(2)由(1)得f(x)＝6sin.将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位后得到y＝6sin＝6sin的图象；再将得到的图象上各点横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到y＝6sin的图象．因此g(x)＝6sin.因为x∈，所以4x＋∈，故g(x)在上的值域为[－3,6]．2．某学校为准备参加市运动会，对本校甲、乙两个田径队中30名跳高运动员进行了测试，并用茎叶图表示出本次测试30人的跳高成绩(单位：cm)．跳高成绩在175cm以上(包括175cm)定义为“合格”，成绩在175cm以下定义为“不合格”．鉴于乙队组队晚，跳高成绩相对较弱，为激励乙队队员，学校决定只有乙队中“合格”者才能参加市运动会开幕式旗林队．(1)求甲队队员跳高成绩的中位数；(2)如果从所有的运动员中用分层抽样共抽取“合格”与“不合格”的人数共5人，则各抽取多少人？(3)若从所有“合格”运动员中选取2名，用X表示所选运动员中能参加市运动会开幕式旗林队的人数，试写出X的分布列，并求X的数学期望．解(1)中位数＝＝177cm.(2)根据茎叶图，有“合格”12人，“不合格”18人，用分层抽样的方法，每个运动员被抽中的概率是＝，所以选中的“合格”有12×＝2人，“不合格”有18×＝3人．(3)依题意，X的取值为0,1,2.则P(X＝0)＝＝＝，1P(X＝1)＝＝＝，P(X＝2)＝＝＝.因此，X的分布列如下：X012P∴E(X)＝0×＋1×＋2×＝＝.3．如图，四棱锥P－ABCD中，PB⊥底面ABCD.底面ABCD为直角梯形，∠ABC＝90°，AD∥BC，AB＝AD＝PB，BC＝2AD.点E在棱PA上，且PE＝2EA.(1)求证：CD⊥平面PBD；(2)求二面角A－BE－D的余弦值．(1)证明以B为原点，BC所在直线为x轴，BA所在直线为y轴，BP所在直线为z轴，建立如图所示坐标系．设AD＝1，则B(0,0,0)，C(2,0,0)，D(1,1,0)，A(0,1,0)，P(0,0,1)，E，CD＝(－1,1,0)，BP＝(0,0,1)，BD＝(1,1,0)．∴CD·BP＝0，即CD⊥BP.CD·BD＝0，即CD⊥BD，又PB∩BD＝B，∴CD⊥平面PBD.(2)解设平面EBD的法向量n＝(x，y,1)，BE＝∴⇒∴n＝，又平面ABE的法向量为BC，设二面角的平面角为θ，∴cosθ＝＝＝.即二面角A－BE－D的余弦值为.4．已知数列{an}是一个公差大于零的等差数列，且a3a6＝55，a2＋a7＝16，数列{bn}的前n项和为Sn，且Sn＝2bn－2.(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)设cn＝，Tn＝c1＋c2＋…＋cn，试比较Tn与的大小，并予以证明．解(1)依题意，设等差数列{an}的公差为d(d>0)，则有将②代入①得(16－3d)(16＋3d)＝220，即d2＝4，∵d>0，∴d＝2，a1＝1，∴an＝2n－1，当n＝1时，S1＝2b1－2，b1＝2，当n≥2时，bn＝Sn－Sn－1＝(2bn－2)－(2bn－1－2)＝2bn－2bn－1，∴bn＝2bn－1.2∴{bn}是以2为首项，2为公比的等比数列．即bn＝2n.(2)cn＝＝，Tn＝＋＋…＋③Tn＝＋＋…＋＋④∴③－④得，Tn＝＋＋＋…＋－＝＋＋＋…＋－＝＋－＝－∴Tn＝3－.Tn－＝3－－＝，要比较Tn与的大小，只需比较2n与2n＋1的大小即可．由2<2×1＋1；22<2×2＋1；23>2×3＋1,24>2×4＋1，…可猜想当n≥3时，2n>2n＋1.证明如下：1°当n＝3时，显然成立．2°假设n＝k(k≥3)时，猜想成立，即2k>2k＋1，当n＝k＋1时，2k＋1＝2·2k>2(2k＋1)＝4k＋2＝2(k＋1)＋1＋(2k－1)>2(k＋1)＋1.∴当n＝k＋1时，猜想也成立．由1°，2°知，对一切n≥3的正整数，都有2n>2n＋1.综上，当n＝1,2时，Tn<，当n≥3时，Tn>.3