不等式的性质及一元二次不等式核心考点·精准研析考点一比较大小与不等式的性质1.(2019·泉州模拟)若a>b>c,ac<0,则下列不等式一定成立的是()A.ab>0B.bc<0C.ab>acD.b(a-c)>02.若a=20192022×20222019,b=20192019×20222022,则ab(用“>,<”填空).3.设m=,n=,则mn(用“>,<”填空).【解析】1.选C.因为a>b>c,ac<0,所以a>0,c<0,b的符号不确定,故A,B,D不正确,C中,a>0,故ab>ac,正确.2.==<1,所以a
1,则关于x的不等式(1-a)(x-a)<0的解集是.世纪金榜导学号【解题导思】序号联想解题1由不等式想到x的系数变为正数后解不等式2由不等式的解集想到对应方程的根、根与系数的关系求系数3由不等式想到不等式变形、求根、根的大小写解集【解析】1.选D.因为x(2-x)<0,所以x(x-2)>0,所以x>2或x<0,所以不等式的解集为(-∞,0)∪(2,+∞).2.选C.不等式的解集是∪,所以-和是方程ax2+2x+c=0的两个实数根,由,解得:a=-12,c=2,故不等式cx2-2x+a≤0,即2x2-2x-12≤0,即x2-x-6≤0,解得-2≤x≤3,所以所求不等式的解集是[-2,3].3.因为a>1时,1-a<0,且a>,则关于x的不等式可化为(x-a)>0,解得x<或x>a,所以不等式的解集为∪(a,+∞).答案:∪(a,+∞)1.解不含参数的一元二次不等式首先将二次项的系数变为正数,若对应的方程有根,求根后根据图像写解集;若无根,直接根据图像写解集.2.解含参数的一元二次不等式(1)先讨论二次项系数为0的情况,二次项系数为零时不等式变为一次不等式或常数不等式,易得不等式的解集;(2)再讨论二次项系数不为0的情况,利用“Δ”或“十字相乘法”求根,若有根,则讨论根的大小后根据图像写解集;若无根,则根据图像写解集.1.(2019·西安模拟)不等式ax2+bx+c>0的解集为(-4,1),则不等式b(x2+1)-a(x+3)+c>0的解集为()A.B.C.∪(1,+∞)D.(-∞,-1)∪【解析】选B.因为不等式的解集为(-4,1),则不等式对应方程的实数根为-4和1,且a<0;由根与系数的关系知,,所以,所以不等式化为3a(x2+1)-a(x+3)-4a>0,化为3(x2+1)-(x+3)-4<0,即3x2-x-4<0,解得-1mn>m+nB.m-n>m+n>mnC.mn>m-n>m+nD.m+n>m-n>mn【解析】选B.因为m=log0.30.6>log0.31=0,n=log20.60,因为-=-2log0.62=log0.60.25>0,=log0.60.3>0,而log0.60.25>log0.60.3,所以->>0,即m+n>0,因为(m-n)-(m+n)=-2n>0,所以m-n>m+n,所以m-n>m+n>mn.考点三一元二次不等式恒成立问题命题精解读1.考什么:(1)求恒成立问题中的参数范围.(2)考查数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养,以及数形结合、分类与整合等数学思想.2.怎么考:与基本初等函数、导数结合考查一元二次不等式与其对应的函数、方程的关系问题.学霸好方法1.恒成立问题的解题思路(1)利用等价条件直接求范围(2)分离参数后转化为最值问题(3)转化为相应的函数,利用函数的图像解题(4)转换变元,利用转化后对应函数的性质解题2.交汇问题:与基本初等函数的定义域、值域交汇时,借助函数的性质解题.在R上的恒成立问题【典例】若关于x的不等式x2-ax-a>0的解集为(-∞,+∞),则实数a的取值范围为.世纪金榜导学号【解析】设f(x)=x2-ax-a,则关于x的不等式x2-ax-a>0的解集为(-∞,+∞)⇔f(x)>0在(-∞,+∞)上恒成立⇔Δ=(-a)2-4×1×(-a)=a2+4a<0,解得-4
