圆锥曲线的范围问题核心考点·精准研析考点一几何法求范围1.已知直线l1:mx-y+m=0与直线l2:x+my-1=0的交点为Q,椭圆+y2=1的焦点为F1,F2,则|QF1|+|QF2|的取值范围是()A.[2,+∞)B.[2,+∞)C.[2,4]D.[2,4]2.已知椭圆E:+=1(a>b>0)的右焦点为F,短轴的一个端点为M,直线l:3x-4y=0交椭圆E于A,B两点.若|AF|+|BF|=4,点M到直线l的距离不小于,则椭圆E的离心率的取值范围是()A.0,B.0,C.,1D.,13.过双曲线-=1(a>0,b>0)的右顶点且斜率为2的直线,与该双曲线的右支交于两点,则此双曲线离心率的取值范围为________.【解析】1.选D.椭圆+y2=1的焦点为:F1(-,0),F2(,0),由l1与l2方程可知l1⊥l2,直线l1:mx-y+m=0与直线l2:x+my-1=0的交点为Q,且两条直线分别经过定点(-1,0),(1,0),所以它们的交点Q满足:x2+y2=1(x≠-1),当Q与(1,0)重合时,|QF1|+|QF2|取最小值为|F1F2|=2,当Q与短轴端点重合时,|QF1|+|QF2|取最大值为2a=4,所以|QF1|+|QF2|的取值范围是[2,4].2.选A.不妨设M(0,b),点M到直线l的距离d==≥,即b≥1,所以e2===1-≤1-=,所以00,b>0)的右顶点且斜率为2的直线,与该双曲线的右支交于两点,可得<2.所以e==<=,因为e>1,所以1b>0),左右焦点分别为F1,F2,R为短轴的一个端点,且△RF1F2的面积为.设过原点的直线l与椭圆C交于A,B两点,P为椭圆C上异于A,B的一点,且直线PA,PB的斜率都存在,kPAkPB=-.(1)求a,b的值.(2)设Q为椭圆C上位于x轴上方的一点,且QF1⊥x轴,M,N为椭圆C上不同于Q的两点,且∠MQF1=∠NQF1,设直线MN与y轴交于点D(0,d),求d的取值范围.【解题导思】序号题目拆解(1)求参数a,b点差法转化kPAkPB=-,结合△RF1F2的面积列出方程组求解(2)①设直线QM的方程将两角相等转化为两直线QM,QN斜率之间的关系②求直线MN的斜率将直线方程与椭圆方程联立,分别求出M、N点的横坐标,利用两点坐标表示出直线MN的斜率.③求d所满足的不等式将直线MN的方程与椭圆方程联立,由位置关系列出不等关系④解不等式求范围解所得不等式即可求得d的取值范围【解析】(1)设A(x1,y1),P(x2,y2),则B(-x1,-y1),进一步得,+=1,+=1,两个等式相减得,+=0,所以·=-,所以kPA·kPB=-,因为kPA·kPB=-,所以-=-,即=,设b=t,a=2t(t>0),因为a2=b2+c2,所以c=t,由△RF1F2的面积为得,=,即bc=,即t2=,t=1,所以a=2,b=.(2)设直线QM的斜率为k,因为∠MQF1=∠NQF1,所以QM,QN关于直线QF1对称,所以直线QN的斜率为-k,算得F1(-1,0...
