核心素养测评四十八直线的倾斜角与斜率、直线的方程(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.设直线ax+by+c=0的倾斜角为α,且sinα+cosα=0,则a,b满足()A.a+b=1B.a-b=1C.a+b=0D.a-b=0【解析】选D.因为sinα+cosα=0,所以tanα=-1.又因为α为倾斜角,所以斜率k=-1.而直线ax+by+c=0的斜率k=-,所以-=-1,即a-b=0.2.已知线段PQ两端点的坐标分别为P(-1,1)和Q(2,2),若直线l:mx+y+1=0与线段PQ有交点,则实数m的取值范围是()A.B.(-∞,-2]∪C.D.∪[2,+∞)【解析】选D.l:mx+y+1=0可写成y=-mx-1,即l过定点R(0,-1),直线PR的斜率k1==-2,直线QR的斜率k2==.因为直线l与线段PQ有交点,所以斜率k≥或k≤-2.又因为k=-m,所以m≤-或m≥2.3.若直线mx+ny+3=0在y轴上的截距为-3,且它的倾斜角是直线x-y=3的倾斜角的2倍,则()A.m=-,n=1B.m=-,n=-3C.m=,n=-3D.m=,n=1【解析】选D.对于直线mx+ny+3=0,令x=0得y=-,即-=-3,n=1.因为x-y=3的倾斜角为60°,直线mx+ny+3=0的倾斜角是直线x-y=3的2倍,所以直线mx+ny+3=0的倾斜角为120°,即-=-,m=.4.直线l经过点A(1,2),在x轴上的截距的取值范围是(-3,3),则其斜率的取值范围是()A.-11或k1或k或k<-1【解析】选D.设直线的斜率为k,则直线方程为y-2=k(x-1),令y=0,得直线l在x轴上的截距为1-,则-3<1-<3,解得k>或k<-1.5.如果AC<0,且BC<0,那么直线Ax+By+C=0不通过()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】选C.由题意知,A,B同号,所以直线Ax+By+C=0的斜率k=-<0,在y轴上的截距为->0,所以,直线不通过第三象限.6.经过点A(3,-4),且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为()A.x+y+1=0B.4x+3y=0C.x-y-7=0或4x+3y=0D.x+y+1=0或4x+3y=0【解析】选D.设直线在x轴上的截距为a,则直线在y轴上的截距为a.(1)当a=0时,直线过(0,0),此时方程为4x+3y=0.(2)当a≠0时,直线方程为+=1.又因A(3,-4)在直线上,所以+=1,解得a=-1,故直线方程为x+y+1=0.综上选D.7.直线xsinα+y+2=0的倾斜角的取值范围是()世纪金榜导学号A.[0,π)B.0,∪,πC.0,D.0,∪,π【解析】选B.由题意知,直线的斜率存在.因为直线xsinα+y+2=0的斜率k=-sinα,又-1≤sinα≤1,所以-1≤k≤1.设直线xsinα+y+2=0的倾斜角为θ,所以-1≤tanθ≤1,而θ∈[0,π),故倾斜角的取值范围是0,∪,π.二、填空题(每小题5分,共15分)8.若直线2x+By+1=0与两坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形,则B=.【解析】由已知C≠0,所以直线不过原点,且斜率应为±1,所以B=±2.答案:±29.已知点A(-1,t),B(t,4),若直线AB的斜率为2,则实数t的值为.【解析】由题意知,kAB=2,即=2,解得t=.答案:10.数学家欧拉在1765年提出定理:三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上,且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半,这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.已知△ABC的顶点A(2,0),B(0,4),AC=BC,则△ABC的欧拉线方程为.世纪金榜导学号【解析】由题意,线段AB的中点为M(1,2),kAB=-2,所以线段AB的垂直平分线为y-2=(x-1),即x-2y+3=0,因为AC=BC,所以△ABC的外心、重心、垂心都位于线段AB的垂直平分线上,因此△ABC的欧拉线方程为x-2y+3=0.答案:x-2y+3=0(15分钟35分)1.(5分)设直线l的方程为x+ycosθ+3=0(θ∈R),则直线l的倾斜角α的取值范围是()A.[0,π)B.C.D.∪【解析】选C.当cosθ=0时,方程变为x+3=0,其倾斜角为;当cosθ≠0时,由直线l的方程,可得斜率k=-.因为cosθ∈[-1,1]且cosθ≠0,所以k∈(-∞,-1]∪[1,+∞),即tanα∈(-∞,-1]∪[1,+∞),又α∈[0,π),所以α∈∪,综上知,直线l的倾斜角α的取值范围是.2.(5分)(2020·西安模拟)已知直线x+a2y-a=0(a是正常数),当此直线在x轴,y轴上的截距和最小时,正数a的值是()A.0B.2C.D.1【解析】选D.直线x+a2y-a=0(a是正常数)在x轴,y轴上的截距分别为a和,此直线在x轴,y轴上的截距和为a+≥2,当且仅当a=1时,等号成立.故当直线x+a2y-a=0在x轴,y轴上的截距和最小时,正数a的值是1.3.(5分)若直线l:(a-2)x+(a+1)y+6=0,则直线l恒过定点.【解析】直线l的方程变形为a(x+y)-2x+y+6=0,由解得所以直线l恒过定点(2,-2).答案:(2,-2)4.(10分)设直线l的方程为(a+1)x+y+2-a=0(a∈R).(1)若l在两坐标轴上截距相等,求l的方程;(2)若l不经过第二象限,求实数a...
