核心素养测评四十二空间直角坐标系、空间向量及其运算(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.已知a=(2,3,-4),b=(-4,-3,-2),b=x-2a,则x等于()A.(0,3,-6)B.(0,6,-20)C.(0,6,-6)D.(6,6,-6)【解析】选B.由b=x-2a,得x=4a+2b=(8,12,-16)+(-8,-6,-4)=(0,6,-20).2.在空间直角坐标系中,已知A(1,-2,1),B(2,2,2),点P在z轴上,且满足||=||,则P点坐标为()A.(3,0,0)B.(0,3,0)C.(0,0,3)D.(0,0,-3)【解析】选C.设P(0,0,z),则有=,解得z=3.3.若非零向量a,b满足|a|=|b|,(2a+b)·b=0,则a与b的夹角θ为()A.30°B.60°C.120°D.150°【解析】选C.因为(2a+b)·b=0,所以2a·b+b2=0,所以2|a||b|cosθ+|b|2=0,又因为|a|=|b|≠0,所以cosθ=-,所以θ=120°.4.已知点A,B,C不共线,对平面ABC外一点O,在下列条件下,点P与A,B,C共面的是()A.=2-2-B.=++C.+=3-D.+=4+【解析】选C.C项可变形为=++,因为++=1,所以点P,A,B,C共面;其他项不可以.5.在空间四边形ABCD中,·+·+·=()A.-1B.0C.1D.不确定【解析】选B.如图,令=a,=b,=c,则·+·+·=a·(c-b)+b·(a-c)+c·(b-a)=a·c-a·b+b·a-b·c+c·b-c·a=0.【秒杀绝招】选B.如图,在空间四边形ABCD中,连接对角线AC,BD,得三棱锥A-BCD,不妨令其各棱长都相等,即为正四面体,因为正四面体的对棱互相垂直,所以·=0,·=0,·=0.所以·+·+·=0.二、填空题(每小题5分,共15分)6.已知a=(x,4,1),b=(-2,y,-1),c=(3,-2,z),a∥b,b⊥c,则c=________.【解析】因为a∥b,所以==,解得x=2,y=-4,此时a=(2,4,1),b=(-2,-4,-1),又因为b⊥c,所以b·c=0,即-6+8-z=0,解得z=2,于是c=(3,-2,2).答案:(3,-2,2)7.如图所示,PD垂直于正方形ABCD所在平面,AB=2,E为PB的中点,cos<,>=,若以DA,DC,DP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则点E的坐标为________.世纪金榜导学号【解析】设PD=a,则A(2,0,0),B(2,2,0),P(0,0,a),E1,1,.所以=(0,0,a),=-1,1,.由cos<,>=,所以=a·,所以a=2,所以E的坐标为(1,1,1).答案:(1,1,1)8.如图,已知在一个60°的二面角的棱上,有两个点A,B,AC,BD分别是在这个二面角的两个半平面内垂直于AB的线段,且AB=4,AC=6,BD=8,则CD的长为________.世纪金榜导学号【解析】设=a,=b,=c,由已知条件|a|=8,|b|=4,|c|=6,
=90°,=90°,=60°,||2=|++|2=|-c+b+a|2=a2+b2+c2+2a·b-2a·c-2b·c=68,则||=2.答案:2三、解答题(每小题10分,共20分)9.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,=a,=b,=c,点M,N分别是A1D,B1D1的中点.(1)试用a,b,c表示;(2)求证:MN∥平面ABB1A1.【解析】(1)因为=-=c-a,所以==(c-a).同理,=(b+c),所以=-=(b+c)-(c-a)=(b+a)=a+b.(2)因为=+=a+b,所以=,即MN∥AB1,因为AB1⊂平面ABB1A1,MN⊄平面ABB1A1,所以MN∥平面ABB1A1.10.已知空间中三点A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4),设a=,b=.(1)求向量a与向量b的夹角的余弦值.(2)若ka+b与ka-2b互相垂直,求实数k的值.【解析】(1)因为a=(1,1,0),b=(-1,0,2),所以a·b=(1,1,0)·(-1,0,2)=-1,又|a|==,|b|==,所以cos===-,即向量a与向量b的夹角的余弦值为-.(2)方法一:因为ka+b=(k-1,k,2).ka-2b=(k+2,k,-4),且ka+b与ka-2b互相垂直,所以(k-1,k,2)·(k+2,k,-4)=(k-1)(k+2)+k2-8=0,所以k=2或k=-,所以当ka+b与ka-2b互相垂直时,实数k的值为2或-.方法二:由(1)知|a|=,|b|=,a·b=-1,所以(ka+b)·(ka-2b)=k2a2-ka·b-2b2=2k2+k-10=0,得k=2或k=-.(15分钟35分)1.(5分)已知空间四边形ABCD,连接AC,BD,设M,G分别是BC,CD的中点,则-+等于()A.B.3C.3D.2【解析】选B.-+=-(-)==3.2.(5分)已知非零向量与满足+·=0且·=,则△ABC为()A.三边均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰非等边三角形D.等边三角形【解析】选D.由+·=0知:∠A的平分线垂直于BC,所以△ABC为等腰三角形;由·=知∠A=60°,所以△ABC为等边三角形.3.(5分)如图,已知在直三棱柱ABC-A1B1C1中,有下列三个条件:①A1B⊥AC1;②A1B⊥B1C;③B1C1=A1C1.试利用①、②、③构造出一个正确的命题________.【解析】设=a,=b,=c,由A1B⊥AC1⇔·=0⇔(b-a+c)(-c-a)=0,所以a·b=|a|2-|c|2,①由A1B⊥B1C⇔·=0⇔(b-a+c)(c-b)=0,所以a·b=|b|2-|c|2,②由B1C1=A1C1得|a|2=|b|2,③由①②③不难看出①②⇒③;①③⇒②;②③⇒①.答案:①②⇒...
