安徽省淮北市第五中学高考数学总复习 等差、等比数列前n项和知识梳理VIP免费

安徽省淮北市第五中学高考数学总复习等差、等比数列前n项和知识梳理【知识网络】【考点梳理】【高清课堂：数列的求和问题388559知识要点】知识点一：数列的前项和的相关公式1.等差数列的前项和公式：（为常数）当时，Sn是关于n的二次式且常数项为0；当d=0时（a1≠0），Sn=na1是关于n的正比例式.2.等比数列的前项和公式：当时，，，当时，3.任意数列的第项与前项和之间的关系式：【典型例题】类型一：等差数列的前n项和公式及其性质例1.等差数列的前30项之和为50，前50项之和为30，求。等差、等比数列的前n项和等比数列的求和公式等差数列的求和公式1【思路分析】根据等差数列前n项公式，整体代入，或者应用公式。【解析】法一: 为等差数列，∴,∴(2)-(1)有，即∴。法二: 为等差数列，∴,∴即∴(2)-(1)有：即,∴,∴。法三: 为等差数列，∴，, ,,…,也为等差数列，∴,∴,∴.【总结升华】法一、二均可用方程思想求出A、B、、d来，然后求未知，运算量则相对很大，此时要注意整体思想的运用。举一反三：【变式】设等差数列的前项和为，若，，则（）A．63B．45C．36D．272【解析】法一：依据已知有：即解得，所以。法二：依据等差数列的性质有：连续三项和也成等差数列、、成等差数列，所以，有，故选B例2.已知两等差数列、的前n项和分别为、，且，试求。【思路分析】需要把所求的等差数列的项的比值的问题转化为前n项和的比值的问题。【解析】法一： ，∴。法二：由题设，令, ，∴,又 ，∴，∴.【总结升华】由于等差数列中，所以已知等差数列、的前n项和分别为和，则(1)，(2)。举一反三：【变式1】等差数列中，若,则_________.【解析】由，得.3【变式2】已知两等差数列、的前项和分别为、，且，则=.【解析】.类型二：等差数列求和公式的应用【高清课堂：等差数列382420典型例题三】例3．设为数列的前n项和，且.求证：数列为等差数列．【思路分析】判断一个数列是否等差数列，可以参考考点梳理中罗列的方法。证明：由得，所以整理得，又得相减并整理得:所以数列是个等差数列举一反三：【变式1】设{an}是等差数列,证明以bn=(n∈N*)为通项公式的数列{bn}是等差数列.证法一:设等差数列{an}的公差是d(常数),当n≥2时，=-====(常数)∴{bn}是等差数列.证法二:等差数列{an}的前n项和,∴bn=∴{bn}是等差数列.【总结升华】判断或证明数列是等差数列的方法有:(1)定义法:an+1-an=d(常数)(n∈N*){an}是等差数列;(2)中项公式法:2an+1=an+an+2(n∈N*){an}是等差数列;4(3)通项公式法:an=kn+b(k、b是常数)(n∈N*){an}是等差数列;(4)前n项和公式法:Sn=An2+Bn(A、B是常数)(n∈N*){an}是等差数列.【变式2】已知数列{an}，an∈N*，Sn=，求证：{an}是等差数列；【答案】an+1=Sn+1–Sn,∴8an+1=,∴,∴， an∈N*，∴，∴，即，∴数列{an}是等差数列.例4．等差数列的前n项和为,若,,.（1）求公差d的取值范围；（2）n为何值时，Sn最大，并说明理由。【解析】（1）由又由得代入不等式组∴，解出（2）方法一：由（1）知：且∴数列是递减数列，由得∴即，∴中最后一个正数项是，开始为负数项∴当n=6时，最大.5方法二：由（1）知：且∴数列是递减数列，若要最大，需确定数列中最后一个非负数项是第几项.由∴即,∴由，∴,即,∴,∴∴中最后一个正数项是，开始为负数项∴当n=6时，最大.方法三： d<0,∴当最小时有最大值，当时，∴当n=6时最小，即最大，方法四：是等差数列，故设，如图所示 ,，∴抛物线与x轴的另一个交点在n=12与n=13之间。∴对称轴l的位置在6与6.5之间，易知n=6对应的A点与对称轴的距离比n=7对应的点B与对称轴的距离要近，故A为最高点，最大。举一反三：【变式】在等差数列中，，，求当为何值时，最小。【解析】法一： ，∴6 ，∴， ，∴∴均为负数，，而以及以后各项都为正数，∴当或时，有最小值为。法二：设数列的公差为，则由，得，即， ，∴，∴，∴当或时，有最小值为。类型三、等比数列的前n项和公式及其性质【高清课堂：数列的概念388518典型例题二】例5.设为等比数列的前n项和，已知,则公比q＝()A．3B．4C．5D．6答案：B解析：，两式相减：所以举一反三【变式】等比数列中，若,求....