安徽省淮北市第五中学高考数学总复习基本不等式知识梳理【知识网络】【考点梳理】考点一：重要不等式及几何意义1．重要不等式：如果，那么（当且仅当时取等号“=”）.2．基本不等式：如果是正数，那么（当且仅当时取等号“=”）.要点诠释：和两者的异同：（1）成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数；（2）取等号“=”的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当时取等号”。（3）可以变形为：，可以变形为：.3.如图，是圆的直径，点是上的一点，,，过点作交圆于点D，连接、.基本不等式重要不等式最大（小）值问题基本不等式基本不等式的应用1易证，那么，即.这个圆的半径为，它大于或等于，即，其中当且仅当点与圆心重合，即时，等号成立.要点诠释：1.在数学中，我们称为的算术平均数，称为的几何平均数.因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.2.如果把看作是正数的等差中项，看作是正数的等比中项，那么基本不等式可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.考点二：基本不等式的证明1.几何面积法如图，在正方形中有四个全等的直角三角形。设直角三角形的两条直角边长为、，那么正方形的边长为。这样，4个直角三角形的面积的和是，正方形的面积为。由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以：。当直角三角形变为等腰直角三角形，即时，正方形缩为一个点，这时有。得到结论：如果，那么（当且仅当时取等号“=”）特别的，如果，,我们用、分别代替、，可得：如果，,则，（当且仅当时取等号“=”）.通常我们把上式写作：如果，,，（当且仅当时取等号“=”）2.代数法 ，当时，；2当时，.所以，（当且仅当时取等号“=”）.特别的，如果，,我们用、分别代替、，可得：如果，,则，（当且仅当时取等号“=”）.通常我们把上式写作：如果，,，（当且仅当时取等号“=”）.要点三、用基本不等式求最大（小）值在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等。①一正：函数的解析式中，各项均为正数；②二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；③三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值。要点四、几个常见的不等式1），当且仅当a=b时取“=”号。2），当且仅当a=b时取“=”号。3）；特别地：；4）5）；【典型例题】类型一：基本不等式的理解例1.，，给出下列推导，其中正确的有（填序号）.（1）的最小值为；（2）的最小值为；（3）的最小值为.【解析】（1）；（2）3（1） ，，∴（当且仅当时取等号）.（2） ，，∴（当且仅当时取等号）.（3） ，∴，（当且仅当即时取等号） ，与矛盾，∴上式不能取等号，即【总结升华】在用基本不等式求函数的最值时，必须同时具备三个条件：一正二定三取等，缺一不可.举一反三：【变式1】给出下面四个推导过程：① ，∴；② ，∴；③ ，，∴；④ ，，∴.其中正确的推导为（）A.①②B.②③C.③④D.①④【解析】① ，∴，符合基本不等式的条件，故①推导正确.②虽然，但当或时，是负数，∴②的推导是错误的.③由不符合基本不等式的条件，∴是错误的.④由得均为负数，但在推导过程中，将整体提出负号后，均变为正数，符合基本不等式的条件，故④正确.选D.【变式2】下列命题正确的是（）A.函数的最小值为2.B.函数的最小值为24C.函数最大值为D.函数的最小值为2【答案】C【解析】A选项中， ，∴当时由基本不等式；当时.∴选项A错误.B选项中， 的最小值为2（当且仅当时，成立）但是，∴这是不可能的.∴选项B错误.C选项中， ，∴，故选项C正确。类型二：利用基本不等式求最值【高清课堂：基本不等式394847基础练习二】例2．设，则的最小值是A．1B．2C．3D．4【解析】当且仅当即时取等号.【答案】D举一反三：【变式1】若,求的最大值.【解析】因为,所以,由基本不等式得:,5（当且仅当即时,取等号）故当时,取得最大值.【变式2】已知，求的最大值.【解析】 ，∴，∴（当且仅当，即时，等号成立）∴（当且仅当，即时，等号成立）故当时，的最大值为4.例3.已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，则y＝14ab的最小值是A．72B．4C．92D．5【解析】...
