安徽省淮北市第五中学高考数学总复习基本不等式知识梳理【知识网络】【考点梳理】考点一：重要不等式及几何意义1．重要不等式：如果，那么（当且仅当时取等号“=”）
2．基本不等式：如果是正数，那么（当且仅当时取等号“=”）
要点诠释：和两者的异同：（1）成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数；（2）取等号“=”的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当时取等号”
（3）可以变形为：，可以变形为：
如图，是圆的直径，点是上的一点，,，过点作交圆于点D，连接、
基本不等式重要不等式最大（小）值问题基本不等式基本不等式的应用1易证，那么，即
这个圆的半径为，它大于或等于，即，其中当且仅当点与圆心重合，即时，等号成立
要点诠释：1
在数学中，我们称为的算术平均数，称为的几何平均数
因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数
如果把看作是正数的等差中项，看作是正数的等比中项，那么基本不等式可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项
考点二：基本不等式的证明1
几何面积法如图，在正方形中有四个全等的直角三角形
设直角三角形的两条直角边长为、，那么正方形的边长为
这样，4个直角三角形的面积的和是，正方形的面积为
由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以：
当直角三角形变为等腰直角三角形，即时，正方形缩为一个点，这时有
得到结论：如果，那么（当且仅当时取等号“=”）特别的，如果，,我们用、分别代替、，可得：如果，,则，（当且仅当时取等号“=”）
通常我们把上式写作：如果，,，（当且仅当时取等号“=”）2
代数法 ，当时，；2当时，
所以，（当且仅当时取等号“=”）
特别的，如果，,我们用、分别代替、，可得：如果，,则，（当且仅当时取等号“=”）
通常我们把上式写作：如果，,，（当且仅当时取等号“=”）
要点三、用基本不等式求最大（小）
