安徽省淮北市第五中学高考数学总复习不等式与不等关系知识梳理【知识网络】【考点梳理】要点一、符号法则与比较大小1.实数的符号任意，则（为正数）、或（为负数）三种情况有且只有一种成立。2.两实数的加、乘运算结果的符号具有以下符号性质：①两个同号实数相加，和的符号不变符号语言：；②两个同号实数相乘，积是正数符号语言：；③两个异号实数相乘，积是负数符号语言：④任何实数的平方为非负数，0的平方为0符号语言：，.3、比较两个实数大小的法则：对任意两个实数、①；②；③。对于任意实数、,,,三种关系有且只有一种成立。不等式与不等关系不等式的性质基本性质的应用实际背景1要点诠释：这三个式子实质是运用实数运算来比较两个实数的大小关系。它是本章的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据。要点二、不等式的基本性质１．不等式的基本性质（1）（2）（3）（4）２．不等式的运算性质（１）加法法则：（２）减法法则：（３）乘法法则：（４）除法法则：（５）乘方法则：（６）开方法则：要点诠释：不等式的概念和性质是进行不等式的变换，证明不等式和解不等式的依据，应正确理解和运用不等式的性质，弄清每条性质的条件与结论，注意条件与结论之间的关系。基本不等式可以在解题时直接应用。要点三、比较大小的方法1、作差法：任意两个代数式、，可以作差后比较与0的关系，进一步比较与的大小。2、作商法：任意两个值为正的代数式、，可以作商后比较与1的关系，进一步比较与的大小。3、中间量法：若且，则（实质是不等式的传递性）.一般选择0或1为中间量.4、利用函数的单调性比较大小：若两个式子具有相同的函数结构，可以利用相应的基本函数的单调性比较大小.【典型例题】类型一：比较代数式（值）的大小2例1．已知：,比较和的大小.【解析】 ，，∴∴.【总结升华】作差比较法基本步骤：作差，变形，判断差的符号，结论，其中判断差的符号为目的，变形是关键，常用变形技巧有因式分解，配方，拆、拼项等方法.举一反三：【高清课堂：不等式与不等关系394833典型例题一】【变式1】若，则下列不等式中，不能成立的是()A.B.C.D.【解析】取特殊值，代入验证即可【答案】B【变式2】已知,试比较和的大小.【解析】 ，又 即∴当时，；当时，.【变式3】且，比较与的大小.3【解析】作差：(1)当，即时，，此时.(2)当，即(3)当，,此时，其中时取等号.(4)当即时，，此时例2．已知：、,且,比较的大小.【解析】 、，∴，作商：（*）(1)若a>b>0,则，a-b>0,,此时成立；(2)若b>a>0,则,a-b<0，,此时成立。综上，总成立。【总结升华】1、作商比较法的基本步骤是:判定式子的符号并作商变形判定商式大于1或等于1或小于1结论。2、正数的幂的乘积形式的大小比较一般用作商比较法.举一反三：【变式】已知为互不相等的正数，求证：【解析】为不等正数，不失一般性，设这时，，则有：由指数函数的性质可知：，即.4类型二：不等式性质的应用例3．如果（）A．B.C.D.【解析】由题可知：又不一定成立，因为当b=0时候，取等号，故选C.【总结升华】判别不等式成立与否，应紧扣不等式性质，当出现字母代数式最常用赋值法.举一反三：【变式1】对于实数，判断以下命题的真假.（1）若,则；（2）若，则；（3）若,则；（4）若,则;(5)若，则；（6）若且,则．(7)若，则；(8)若，则【解析】（１）因为的符号不定，所以无法判定和的大小，故原命题为假命题.（２）因为,所以,从而，故原命题为真命题.（３）因为，所以①；又，所以②综合①②得，故原命题为真命题.（４）两个负实数，绝对值大的反而小．故原命题为真命题．（5）因为当时，不成立，故原命题为假命题..（6）因为，所以又因，所以．故原命题为真命题．5（7）因为的函数在上单调递增，故原命题为真命题．（8）因为，所以，故原命题为真命题．【高清课堂：不等式与不等关系394833典型例题四】【变式2】已知且,求的取值范围.【解析】设解得，所以由得由得所以即【变式3】已知，那么下列不等式成立的是（）A.B.C.D.【解析】D；特殊值法：令，类型三：不等关系在实际问题中的应用例4．船在流水中航行，在甲地与乙地间来回行驶一次的平均速度和船在静...
