专题2导数的应用【三年高考】1.【2016高考江苏，19】已知函数（1）设.①求方程=2的根；②若对任意，不等式恒成立，求实数m的最大值；（2）若，函数有且只有1个零点，求ab的值.【答案】（1）①0②4（2）1【解析】试题分析：（1）①根据指数间倒数关系转化为一元二次方程，求方程根；②根据指数间平方关系，将不等式转化为一元不等式，再利用变量分离转化为对应函数最值，最后根据基本不等式求最值；（2）根据导函数零点情况，确定函数单调变化趋势，结合图象确定唯一零点必在极值点取得，从而建立等量关系，求出ab的值.试题解析：（1）因为，所以.①方程，即，亦即，所以，于是，解得.（2）因为函数只有1个零点，而，所以0是函数的唯一零点.因为，又由知，所以有唯一解.令，则，从而对任意，，所以是上的单调增函数，于是当，；当时，.因而函数在上是单调减函数，在上是单调增函数.下证.若，则，于是，又，且函数在以和为端点的闭区间上的图象不间断，所以在和之间存在的零点，记为.因为，所以，又，所以与“0是函数的唯一零点”矛盾.若，同理可得，在和之间存在的非0的零点，矛盾.因此，.于是，故，所以.【考点】指数函数、基本不等式、利用导数研究函数单调性及零点【名师点睛】对于函数零点个数问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图等确定其中参数的范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．但需注意探求与论证之间区别，论证是充要关系，要充分利用零点存在定理及函数单调性严格说明函数零点个数.2.【2015高考江苏，19】已知函数.（1）试讨论的单调性；（2）若（实数c是a与无关的常数），当函数有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是，求c的值.【答案】（1）当时，在上单调递增；当时，在，上单调递增，在上单调递减；当时，在，上单调递增，在上单调递减．（2）【解析】（1），令，解得，．当时，因为（），所以函数在上单调递增；当时，时，，时，，所以函数在，上单调递增，在上单调递减；当时，时，，时，，所以函数在，上单调递增，在上单调递减．此时，，因函数有三个零点，则有两个异于的不等实根，所以，且，解得．综上．【考点定位】利用导数求函数单调性、极值、函数零点3.【2014江苏，理19】已知函数，其中是自然对数的底数.（1）证明：是上的偶函数；（2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围；（3）已知正数满足：存在，使得成立，试比较与的大小，并证明你的结论.【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）当时，，当时，，当时，．（3）由题意，不等式在上有解，由得，记，，显然，当时，（因为），故函数在上增函数，，于是在上有解，等价于，即．考察函数，，当时，，当时，，当时，即在上是增函数，在上是减函数，又，，，所以当时，，即，，当时，，，即，，因此当时，，当时，，当时，．4．【2016高考新课标1文数改编】若函数在单调递增,则a的取值范围是．【答案】【解析】试题分析：对恒成立,故,即恒成立,即对恒成立,构造,开口向下的二次函数的最小值的可能值为端点值,故只需保证,解得．考点：三角变换及导数的应用【名师点睛】本题把导数与三角函数结合在一起进行考查,有所创新,求解关键是把函数单调性转化为不等式恒成立,再进一步转化为二次函数在闭区间上的最值问题,注意与三角函数值域或最值有关的问题,要注意弦函数的有界性.5．【2016高考四川文科改编】已知函数的极小值点，则=．【答案】2考点：函数导数与极值.【名师点睛】本题考查函数的极值．在可导函数中函数的极值点是方程的解，但是极大值点还是极小值点，需要通过这点两边的导数的正负性来判断，在附近，如果时，，时，则是极小值点，如果时，，时，，则是极大值点，6．【2016高考山东理数】(本小题满分13分)已知.（I）讨论的单调性；（II）当时，证明对于任意的成立.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析【解析】试题分析：（Ⅰ）求的导函数，对a进行分类讨论，求的单调性；（Ⅱ）要证对于任意的成立，即证，根据单调性求解.试题解析：（Ⅰ）的定义域为；.当，时，，...
