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备战高考数学大一轮复习 热点聚焦与扩展 专题60 特殊值法解决二项式展开式系数问题-人教版高三全册数学试题VIP免费

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专题60特殊值法解决二项式展开式系数问题【热点聚焦与扩展】纵观近几年的高考试题,本节内容考题比较灵活,热点是通项公式的应用,利用通项公式求特定项或特定的项的系数,或已知某项,求指数n,求参数的值等,难度控制在中等或中等以下.对于二项式系数问题,往往利用“赋值法”.本专题在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上,举例说明.1、含变量的恒等式:是指无论变量在已知范围内取何值,均可使等式成立.所以通常可对变量赋予特殊值得到一些特殊的等式或性质2、二项式展开式与原二项式呈恒等关系,所以可通过对变量赋特殊值得到有关系数(或二项式系数)的等式3、常用赋值举例:(1)设,①令,可得:②令,可得:,即:(假设为偶数),再结合①可得:(2)设①令,则有:,即展开式系数和②令,则有:,即常数项③令,设为偶数,则有:,即偶次项系数和与奇次项系数和的差由①③即可求出和的值.【经典例题】例1.【山东省2018年普通高校招生(春季)考试】在的展开式中,所有项的系数之和等于()A.32B.-32C.1D.-1【答案】D【解析】分析:令x=y=1,则得所有项的系数之和.详解:令x=y=1,则得所有项的系数之和为,选D.点睛:“赋值法”普遍适用于恒等式,是一种重要的方法,对形如的式子求其展开式的各项系数之和,常用赋值法,只需令即可;对形如的式子求其展开式各项系数之和,只需令即可.例2.【2018年【衡水金卷】(四)】在二项式的展开式中,所有项的系数之和记为,第项的系数记为,若,则的值为()A.2B.C.2或D.2或【答案】D例3.已知,则的值为()A.B.C.D.【答案】B【解析】:本题虽然恒等式左侧复杂,但仍然可通过对赋予特殊值得到系数的关系式,观察所求式子特点可令,得到,只需再求出即可.令可得,所以答案:B例4.设,则的值为()A.B.C.D.【答案】A【解析】思路:所求,在恒等式中令可得:,令时,所以答案:A例5.【2018届河南省郑州市一模】在的展开式中,各项系数和与二项式系数和之比为3:2,则的系数为()A.50B.70C.90D.120【答案】C令得.所以的系数为.选C.例6.在的展开式中,所有奇数项二项式系数之和等于1024,则中间项的二项式系数是()A.462B.330C.682D.792【答案】A【解析】的展开式中,所有奇数项二项式系数之和等于,则中间项的二项式系数是.故选A例7.【2018届百校联盟TOP20四月联考】已知的展开式中所有偶数项系数之和为496,则展开式中第3项的系数为_______.【答案】270【解析】分析:利用赋值法得到两式相减即故答案为:270例8.【2018届浙江省诸暨市高三上期末】已知,则______;则__________.【答案】160【解析】令得:1=因为,所以例9.【2018届衡水金卷全国大联考】已知的展开式中所有项的二项式系数之和、系数之和分别为,,则的最小值为__________.【答案】16【解析】显然.令,得.所以.当且仅当.即时,取等号,此时的最小值为16.例10.若,则的值是()A.B.C.D.【答案】D令可得:而在中,令可得:答案:D【精选精练】1.【2018届福建省莆田市第二次检测】若()展开式的二项式系数和为32,则其展开式的常数项为()A.B.C.D.【答案】B【解析】分析:首先根据二项式定理中所涉及的二项式系数和为,结合题中条件,求得,将代入二项式,将其展开式的通项写出,令幂指数为零,求得,再回代,求得结果,得到正确选项.详解:根据二项式系数和的性质,可知,解得,所以的展开式的通项为,令,解得,所以其展开式的常数项为,故选B.2.【2018届安徽省合肥市三模】已知展开式中的系数为,则展开式中所有项的二项式系数之和为A.64B.32C.D.【答案】B,解得,二项式系数之和为,故选B.点睛:本题主要考查二项展开式定理的通项与系数,属于简单题.二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一,关于二项式定理的命题方向比较明确,主要从以下几个方面命题:(1)考查二项展开式的通项公式;(可以考查某一项,也可考查某一项的系数)(2)考查各项系数和和各项的二项式系数和;(3)二项展开式定理的应用.3.【2018届四川省雅安市三诊】已知展开式的各个二项式系数的和为,则的展开式中的系数()A.B.C.D.【答案】A故选A.4.【2018届河北衡水金卷模...

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