直线和圆05三、解答题42.设A（－c，0），B（c，0）（c>0）为两定点，动点P到A点的距离与到B点的距离的比为定值a（a>0），求P点的轨迹.43.已知动圆过定点P（1，0），且与定直线l：x=－1相切，点C在l上.（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹M的方程；（Ⅱ）设过点P，且斜率为－的直线与曲线M相交于A、B两点.（i）问：△ABC能否为正三角形？若能，求点C的坐标；若不能，说明理由；（ii）当△ABC为钝角三角形时，求这种点C的纵坐标的取值范围.44.已知点P到两个定点M（－1，0）、N（1，0）距离的比为，点N到直线PM的距离为1．求直线PN的方程．45.已知圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1；③圆心到直线l：x－2y=0的距离为，求该圆的方程.46.设圆满足：（1）截y轴所得弦长为2；（2）被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1．在满足条件（1）、（2）的所有圆中，求圆心到直线l：x－2y=0的距离最小的圆的方程.47.已知过原点O的一条直线与函数y=log8x的图象交于A、B两点，分别过点A、B作y轴的平行线与函数y＝log2x的图象交于C、D两点.（1）证明点C、D和原点O在同一条直线上.（2）当BC平行于x轴时，求点A的坐标.48.在直角坐标系中，设矩形OPQR的顶点按逆时针顺序依次为O（0，0），P（1，t），Q（1－2t，2+t），R（－2t，2），其中t∈（0，＋∞）.（1）求矩形OPQR在第一象限部分的面积S（t）.（2）确定函数S（t）的单调区间，并加以证明.49.已知直角坐标平面上点Q（2，0）和圆C：x2+y2=1，动点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于常数λ（λ>0）.求动点M的轨迹方程，说明它表示什么曲线.42.解：设动点P的坐标为P（x，y）由=a（a>0），得=a，化简，得：（1－a2）x2+2c（1+a2）x+c2（1－a2）+（1－a2）y2=0.当a≠1时，得x2+x+c2+y2=0.整理，得：（x－c）2+y2=（）2当a=1时，化简得x=0.所以当a≠1时，P点的轨迹是以（c，0）为圆心，||为半径的圆；当a=1时，P点的轨迹为y轴.评述：本题考查直线、圆、曲线和方程等基本知识，考查运用解析几何的方法解决问题的能力.假设存在点C（－1，y），使△ABC为正三角形，则|BC|=|AB|且|AC|=|AB|，即由①－②得42+（y+2）2=（）2+（y－）2，解得y=－.但y=－不符合①，所以由①，②组成的方程组无解.因此，直线l上不存在点C，使得△ABC是正三角形.（ii）解法一：设C（－1，y）使△ABC成钝角三角形，由得y=2，①②该不等式无解，所以∠ACB不可能为钝角.因此，当△ABC为钝角三角形时，点C的纵坐标y的取值范围是.解法二：以AB为直径的圆的方程为（x－）2+（y+）2=（）2.圆心（）到直线l：x=－1的距离为，所以，以AB为直径的圆与直线l相切于点G（－1，－）.当直线l上的C点与G重合时，∠ACB为直角，当C与G点不重合，且A、B、C三点不共线时，∠ACB为锐角，即△ABC中，∠ACB不可能是钝角.因此，要使△ABC为钝角三角形，只可能是∠CAB或∠CBA为钝角.过点A且与AB垂直的直线方程为.评述：该题全面综合了解析几何、平面几何、代数的相关知识，充分体现了“注重学科知识的内在联系”.题目的设计新颖脱俗，能较好地考查考生综合运用数学知识解决问题的能力.比较深刻地考查了解析法的原理和应用，以及分类讨论的思想、方程的思想.该题对思维的目的性、逻辑性、周密性、灵活性都进行了不同程度的考查.对运算、化简能力要求也较高，有较好的区分度.44.解：设点P的坐标为（x，y），由题设有，即．整理得x2+y2－6x+1=0．①因为点N到PM的距离为1，|MＮ|＝2，所以∠PMN＝30°，直线PM的斜率为±，直线PM的方程为y=±（x＋1）．②将②式代入①式整理得x2－4x＋1＝0．解得x＝2＋，x＝2－．代入②式得点P的坐标为（2＋，1＋）或（2－，－1＋）；（2＋，－1－）或（2－，1－）．直线PN的方程为y=x－1或y=－x+1．46.解：设所求圆的圆心为P（a，b），半径为r，则P到x轴、y轴的距离分别为|b|、|a|.由题设圆P截x轴所得劣弧所对圆心角为90°，圆P截x轴所得弦长为r，故r2＝2b2，又圆P截y轴所得弦长为2，所以有r2＝a2＋1，从而有2b2－a2＝1又点P（a，b）到直线x－2y=0距离为d＝，所以5d2＝|a－2b|2＝a2＋4b2－4ab≥a2＋4b2－2（a2＋b2）＝2b2－a2＝1当且仅当a=b时上式等号成立，此时5d...
