平面向量07解答题18
如图5—4，在直三棱柱ABO—A′B′O′中，OO′=4，OA=4，OB=3，∠AOB=90°，D是线段A′B′的中点，P是侧棱BB′上的一点，若OP⊥BD，求OP与底面AOB所成角的大小
（结果用反三角函数值表示）图5—3图5—4图5—5解法一：如图5—16，以O点为原点建立空间直角坐标系
由题意，有B（3，0，0），D（，2，4），设P（3，0，z），则={－，2，4}，={3，0，z}
∵BD⊥OP，∴·=－+4z=0，z=
∵BB′⊥平面AOB，∴∠POB是OP与底面AOB所成的角
tanPOB=，∴∠POB=arctan
图5—16（以下同解法一）21
如图5—6，以正四棱锥V—ABCD底面中心O为坐标原点建立空间直角坐标系O—xyz，其中Ox∥BC，Oy∥AB，E为VC的中点，正四棱锥底面边长为2a，高为h
（1）求cos；（2）记面BCV为α，面DCV为β，若∠BED是二面角α—VC—β的平面角，求∠BED
图5—6图5—7图5—8（2）若∠BED是二面角α—VC—β的平面角，则，则有＝0
又由C（－a，a，0），V（0，0，h），有＝（a，－a，h）且，∴
即h＝a，这时有cos＝，∴∠BED＝＝arccos（）＝π－arccos评述：本小题主要考查空间直角坐标的概念、空间点和向量的坐标表示以及两个向量夹角的计算方法；考查运用向量研究空间图形的数学思想方法
在长方体ABCD—A1B1C1D1中，点E、F分别在BB1、DD1上，且AE⊥A1B，AF⊥A1D
（1）求证：A1C⊥平面AEF；（2）若规定两个平面所成的角是这两个平面所组成的二面角中的锐角（或直角）
则在空间中有定理：若两条直线分别垂直于两个平面，则这两条直线所成的角与这两个平面所成的角相等
试根据上述定理，在AB=4，AD=3，AA1=5时，求平面AEF与平面D1B1
