平面向量07解答题18.如图5—4，在直三棱柱ABO—A′B′O′中，OO′=4，OA=4，OB=3，∠AOB=90°，D是线段A′B′的中点，P是侧棱BB′上的一点，若OP⊥BD，求OP与底面AOB所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）图5—3图5—4图5—5解法一：如图5—16，以O点为原点建立空间直角坐标系.由题意，有B（3，0，0），D（，2，4），设P（3，0，z），则={－，2，4}，={3，0，z}.∵BD⊥OP，∴·=－+4z=0，z=.∵BB′⊥平面AOB，∴∠POB是OP与底面AOB所成的角.tanPOB=，∴∠POB=arctan.图5—16（以下同解法一）21.如图5—6，以正四棱锥V—ABCD底面中心O为坐标原点建立空间直角坐标系O—xyz，其中Ox∥BC，Oy∥AB，E为VC的中点，正四棱锥底面边长为2a，高为h.（1）求cos<>；（2）记面BCV为α，面DCV为β，若∠BED是二面角α—VC—β的平面角，求∠BED.图5—6图5—7图5—8（2）若∠BED是二面角α—VC—β的平面角，则，则有＝0.又由C（－a，a，0），V（0，0，h），有＝（a，－a，h）且，∴.即h＝a，这时有cos<>＝，∴∠BED＝<>＝arccos（）＝π－arccos评述：本小题主要考查空间直角坐标的概念、空间点和向量的坐标表示以及两个向量夹角的计算方法；考查运用向量研究空间图形的数学思想方法.22.在长方体ABCD—A1B1C1D1中，点E、F分别在BB1、DD1上，且AE⊥A1B，AF⊥A1D.（1）求证：A1C⊥平面AEF；（2）若规定两个平面所成的角是这两个平面所组成的二面角中的锐角（或直角）.则在空间中有定理：若两条直线分别垂直于两个平面，则这两条直线所成的角与这两个平面所成的角相等.试根据上述定理，在AB=4，AD=3，AA1=5时，求平面AEF与平面D1B1BD所成角的大小.（用反三角函数值表示）如图5—19建立直角坐标系，则得点A（0，0，0），G（，3，0），A1（0，0，5），C（4，3，0）.AG={，3，0}，A1C={4，3，－5}.因为AG与A1C所成的角为α，所以cosα=.由定理知，平面AEF与平面D1B1BD所成角的大小为arccos.注：没有学习向量知识的同学可用以下的方法求二面角的平面角.解法一：设AG与BD交于M，则AM⊥面BB1D1D，再作AN⊥EF交EF于N，连接MN，则∠ANM即为面AEF与D1B1BD所成的角α，用平面几何的知识可求出AM、AN的长度.解法二：用面积射影定理cosα=.评述：立体几何考查的重点有三个：一是空间线面位置关系的判定；二是角与距离的计算；三是多面体与旋转体中的计算.
